与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (5k+1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (5k+1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の性質を利用して、式を分解します。

$$\sum_{k=1}^{n} (5k+1) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 1$$

次に、定数倍の和の公式を用いて、$\sum_{k=1}^{n} 5k$ を計算します。

$$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5 \sum_{k=1}^{n} k = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1$ は、1をn回足し合わせるので、nになります。

$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$$\sum_{k=1}^{n} (5k+1) = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{2n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 2n}{2} = \frac{5n^2 + 7n}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2 + 7n}{2}$