2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (m+2)^2 - 4(m+5) = m^2 + 4m + 4 - 4m - 20 = m^2 - 16$

重解を持つ条件 $D = 0$ より、

$m^2 - 16 = 0$

$(m-4)(m+4) = 0$

したがって、$m = 4$ または $m = -4$

次に、それぞれの $m$ の値に対して重解を求めます。

重解は $x = -\frac{m+2}{2}$ で与えられます。

- $m = 4$ のとき、重解は $x = -\frac{4+2}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

- $m = -4$ のとき、重解は $x = -\frac{-4+2}{2} = -\frac{-2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -4$ のとき、重解は $x = 1$