与えられた5つの2次方程式の解の種類（実数解の個数）を判別せよ。ただし、$k$は定数である。

1. 問題の内容

与えられた5つの2次方程式の解の種類（実数解の個数）を判別せよ。ただし、$k$は定数である。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とする。

判別式によって解の種類は以下のように判別できる。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（実数解が1つ）を持つ。

* $D < 0$ のとき、実数解を持たない（異なる2つの虚数解を持つ）。

(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$

よって、異なる2つの実数解を持つ。

(2) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

$D = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$

よって、重解を持つ。

(3) $-13x^2 + 12x - 3 = 0$

$D = (12)^2 - 4(-13)(-3) = 144 - 156 = -12 < 0$

よって、実数解を持たない。

(4) $x^2 - (k-3)x + k^2 + 4 = 0$

$D = (-(k-3))^2 - 4(1)(k^2+4) = (k-3)^2 - 4(k^2+4) = k^2 - 6k + 9 - 4k^2 - 16 = -3k^2 - 6k - 7 = -3(k^2 + 2k) - 7 = -3(k^2 + 2k + 1 - 1) - 7 = -3((k+1)^2 - 1) - 7 = -3(k+1)^2 + 3 - 7 = -3(k+1)^2 - 4 < 0$

任意の$k$に対して$D < 0$なので、実数解を持たない。

(5) $x^2 - (k-2)x + \frac{k}{2} + 5 = 0$

$D = (-(k-2))^2 - 4(1)(\frac{k}{2} + 5) = (k-2)^2 - 4(\frac{k}{2} + 5) = k^2 - 4k + 4 - 2k - 20 = k^2 - 6k - 16 = (k-8)(k+2)$

* $D > 0$ のとき、$(k-8)(k+2) > 0$ より $k < -2$ または $k > 8$ のとき異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、$(k-8)(k+2) = 0$ より $k = -2$ または $k = 8$ のとき重解を持つ。

* $D < 0$ のとき、$(k-8)(k+2) < 0$ より $-2 < k < 8$ のとき実数解を持たない。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解を持つ。

(2) 重解を持つ。

(3) 実数解を持たない。

(4) 実数解を持たない。

(5)

* $k < -2$ または $k > 8$ のとき異なる2つの実数解を持つ。

* $k = -2$ または $k = 8$ のとき重解を持つ。

* $-2 < k < 8$ のとき実数解を持たない。