ボーア半径 $r_B$ が $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ で与えられるとき、クーロン力と遠心力の関係式 $F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$ を用いて、電子速度 $v$ を表す式を導き、それをボーア半径の式に代入することで、ボーア半径の式を導出する。与えられたボーア半径の式を導き出す問題です。

1. 問題の内容

ボーア半径 $r_B$ が $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ で与えられるとき、クーロン力と遠心力の関係式 $F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$ を用いて、電子速度 $v$ を表す式を導き、それをボーア半径の式に代入することで、ボーア半径の式を導出する。与えられたボーア半径の式を導き出す問題です。

2. 解き方の手順

まず、クーロン力と遠心力の関係式から電子速度 $v$ を求めます。

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$

両辺に $r$ をかけると

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} = m_e v^2$

$v^2$ について解くと

$v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}$

$v$ について解くと

$v = \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}}$

次に、ボーアの量子化条件 $m_e v r = \frac{h}{2\pi}$ を用います。

$v$ について解くと

$v = \frac{h}{2\pi m_e r}$

上記２つの式を連立させます。

$\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r}} = \frac{h}{2\pi m_e r}$

両辺を２乗すると

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2 r^2}$

$r$ について解くと

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e} = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2 r}$

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m_e} = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2} \frac{1}{r}$

$r = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e^2} \frac{4\pi\epsilon_0 m_e}{e^2}$

$r = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$

3. 最終的な答え

$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$