半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、時刻tにおける位置ベクトル$r^A(t)$と$r^B(t)$が与えられています。 $r^A(t) = 2 (cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2 (cos(\frac{\pi t^2}{6})i + sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ これらの運動について、以下の問いに答えます。 (i) $0 \le t \le 3$におけるA, Bの軌跡を描き、t=0, 1, 2, 3における質点の位置に印をつけます。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、A, Bの角速度$\omega^A(t), \omega^B(t)$を求めます。 (iii) A, Bについて、周期があればそれを求めます。 (iv) A, Bの速度の接線成分$v^A(t), v^B(t)$を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確かめます。 (v) t=1におけるA, Bの速度$v^A(1), v^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vi) t=1におけるA, Bの加速度$a^A(1), a^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vii) t=1におけるA, Bの加速度$a^A(1), a^B(1)$の接線方向成分$a_t^A(1), a_t^B(1)$、法線方向成分$a_n^A(1), a_n^B(1)$を求めます。 (viii) t=1におけるA, Bの加速度の大きさ$a^A(1), a^B(1)$を求めます。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、時刻tにおける位置ベクトル$r^A(t)$と$r^B(t)$が与えられています。

$r^A(t) = 2 (cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2 (cos(\frac{\pi t^2}{6})i + sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

これらの運動について、以下の問いに答えます。

(i) $0 \le t \le 3$におけるA, Bの軌跡を描き、t=0, 1, 2, 3における質点の位置に印をつけます。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義とその意味を書き、A, Bの角速度$\omega^A(t), \omega^B(t)$を求めます。

(iii) A, Bについて、周期があればそれを求めます。

(iv) A, Bの速度の接線成分$v^A(t), v^B(t)$を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確かめます。

(v) t=1におけるA, Bの速度$v^A(1), v^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vi) t=1におけるA, Bの加速度$a^A(1), a^B(1)$を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vii) t=1におけるA, Bの加速度$a^A(1), a^B(1)$の接線方向成分$a_t^A(1), a_t^B(1)$、法線方向成分$a_n^A(1), a_n^B(1)$を求めます。

(viii) t=1におけるA, Bの加速度の大きさ$a^A(1), a^B(1)$を求めます。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画

t=0, 1, 2, 3におけるA, Bの位置を計算し、円周上に点を描きます。

A:

t=0: $r^A(0) = 2(cos(-\pi/6)i + sin(-\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i - 1/2 j) = (\sqrt{3}, -1)$

t=1: $r^A(1) = 2(cos(\pi/6)i + sin(\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (\sqrt{3}, 1)$

t=2: $r^A(2) = 2(cos(\pi/2)i + sin(\pi/2)j) = (0, 2)$

t=3: $r^A(3) = 2(cos(5\pi/6)i + sin(5\pi/6)j) = 2(-\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (-\sqrt{3}, 1)$

B:

t=0: $r^B(0) = 2(cos(0)i + sin(0)j) = (2, 0)$

t=1: $r^B(1) = 2(cos(\pi/6)i + sin(\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (\sqrt{3}, 1)$

t=2: $r^B(2) = 2(cos(2\pi/3)i + sin(2\pi/3)j) = 2(-1/2 i + \sqrt{3}/2 j) = (-1, \sqrt{3})$

t=3: $r^B(3) = 2(cos(3\pi/2)i + sin(3\pi/2)j) = (0, -2)$

これらの点を半径2の円周上にプロットします。

(ii) 角速度の定義

角速度$\omega$は、単位時間あたりの回転角の変化です。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

Aの場合、$\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$なので、

$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

Bの場合、$\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$なので、

$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期

Aの周期は、$\theta^A(t+T) = \theta^A(t) + 2\pi$となるTを求めます。

$\frac{\pi (t+T)}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi$

$\frac{\pi T}{3} = 2\pi$

$T = 6$

Bの角速度は時間によって変化するため、周期はありません。

(iv) 接線成分

速度ベクトルは、位置ベクトルを時間で微分することで求まります。

$v^A(t) = \frac{dr^A}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$v^B(t) = \frac{dr^B}{dt} = 2(-\frac{\pi t}{3}sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi t}{3}cos(\frac{\pi t^2}{6})j)$

接線成分は速度ベクトルの大きさで与えられます。

$|v^A(t)| = 2 \cdot \frac{\pi}{3} \sqrt{sin^2(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) + cos^2(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})} = \frac{2\pi}{3}$

$|v^B(t)| = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} \sqrt{sin^2(\frac{\pi t^2}{6}) + cos^2(\frac{\pi t^2}{6})} = \frac{2\pi t}{3}$

$v^A(t)$の大きさは一定なのでAは等速円運動であり、$v^B(t)$の大きさは時間に比例するのでBは等加速度円運動であることがわかります。

(v) t=1における速度

$v^A(1) = 2(-\frac{\pi}{3}sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

$v^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

これらを軌跡上に図示します。

(vi) t=1における加速度

$a^A(t) = \frac{dv^A}{dt} = 2(-\frac{\pi^2}{9}cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$a^B(t) = \frac{dv^B}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

$a^A(1) = 2(-\frac{\pi^2}{9}cos(\frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j)$

$a^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}cos(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9}j)$

これらを軌跡上に図示します。

(vii) t=1における加速度の成分

$a^A(1) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j)$

$a^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9}j)$

Aは等速円運動なので、接線方向の加速度は0です。法線方向の加速度は、$a_n^A(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$ (内向き)

Bの場合、

$a_t^B(1) = \frac{d|v^B|}{dt}|_{t=1} = \frac{2\pi}{3}$

法線方向の加速度は、$a_n^B(1) = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$ (内向き)

(viii) t=1における加速度の大きさ

$|a^A(1)| = \sqrt{(-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2 + (-\frac{\pi^2}{9})^2} = \frac{\pi^2}{9}\sqrt{3+1} = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \sqrt{(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2 + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})^2} = \sqrt{(-\frac{3\pi + \pi^2 \sqrt{3}}{9})^2 + (\frac{3\pi\sqrt{3}-\pi^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{9\pi^2 + 6\pi^3\sqrt{3} + 3\pi^4 + 27\pi^2 - 6\pi^3\sqrt{3} + \pi^4}{81}} = \sqrt{\frac{36\pi^2+4\pi^4}{81}} = \frac{2\pi}{9}\sqrt{9 + \pi^2}$

(ix) 加速度が異なる例

同じ半径で速さが等しい円運動でも、Aは等速円運動で、Bは等加速度円運動の場合、加速度の大きさが異なり、Aは向心加速度のみですが、Bは向心加速度に加えて接線方向の加速度を持ちます。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡：省略（上記の位置に点をプロットしてください）

(ii) 角速度：$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期：Aは$T=6$、Bは周期なし

(iv) 接線成分：$v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) t=1における速度：省略（上記の速度ベクトルを軌跡上に図示してください）

(vi) t=1における加速度：省略（上記の加速度ベクトルを軌跡上に図示してください）

(vii) t=1における加速度の成分：$a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさ：$|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{9}\sqrt{9 + \pi^2}$

(ix) 加速度が異なる例：上記参照