半径2の円周上を運動する質点AとBについて、時刻 $t$ におけるそれぞれの位置が与えられています。 Aの位置ベクトル: $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ Bの位置ベクトル: $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ 以下の問いに答えます。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつけます。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求めます。 (iii) A, B について、周期があれば求めます。 (iv) A, B の速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認します。 (v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。 (vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求めます。 (viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求めます。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて、時刻 $t$ におけるそれぞれの位置が与えられています。

Aの位置ベクトル: $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

Bの位置ベクトル: $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

以下の問いに答えます。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡を描き、$t=0, 1, 2, 3$ における質点の位置に印をつけます。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義を書き、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求めます。

(iii) A, B について、周期があれば求めます。

(iv) A, B の速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認します。

(v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示します。

(vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求めます。

(viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求めます。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動であっても、加速度は異なることがあることを例をあげて示します。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡と位置のプロット:

- AとBの位置ベクトルに $t = 0, 1, 2, 3$ を代入し、それぞれの座標を計算します。

- これらの座標を基に、円周上にAとBの軌跡を描き、計算した位置に印をつけます。

- AとBの位置は区別できるようにします。

(ii) 角速度の計算:

- 一般的な円運動における角速度 $\omega(t)$ の定義は、位置ベクトルの角度の時間微分です。つまり、$\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt}$　です。

- Aの角速度: $\omega^A(t) = \frac{d}{dt} (\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$

- Bの角速度: $\omega^B(t) = \frac{d}{dt} (\frac{\pi t^2}{6}) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算:

- Aは等速円運動なので、周期 $T^A$ は $T^A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$

- Bは等加速度円運動なので、周期は定義できません。

(iv) 接線速度の計算:

- 接線速度 $v(t)$ は、半径 $r$ と角速度 $\omega(t)$ の積で表されます。つまり、$v(t) = r\omega(t)$

- Aの接線速度: $v^A(t) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ （一定なので等速円運動）

- Bの接線速度: $v^B(t) = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$ （時間とともに増加するので等加速度円運動）

(v) $t=1$ における速度の計算と図示:

- Aの速度: $v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$ (接線方向)

- Bの速度: $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$ (接線方向)

- これらの速度ベクトルを軌跡上に図示します。接線方向に速度を描きます。

(vi) $t=1$ における加速度の計算と図示:

- Aの加速度: $a^A(t) = r\omega^2(t)$ (中心向き)より、$a^A(1) = 2 (\frac{\pi}{3})^2 = \frac{2\pi^2}{9}$ (中心向き)

- Bの加速度:

- 接線方向成分: $a_t^B(t) = r \frac{d\omega^B(t)}{dt} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

- 法線方向成分: $a_n^B(t) = r (\omega^B(t))^2 = 2 (\frac{\pi t}{3})^2$

- $t=1$ のとき、 $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

- これらの加速度ベクトルを軌跡上に図示します。Aの加速度は中心向き、Bの加速度は接線方向と中心向きの成分を合成したベクトルを描きます。

(vii) $t=1$ における加速度成分の計算:

- Aの加速度:

- 接線方向成分: $a_t^A(1) = 0$

- 法線方向成分: $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

- Bの加速度:

- 接線方向成分: $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

- 法線方向成分: $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) $t=1$ における加速度の大きさの計算:

- Aの加速度の大きさ: $|a^A(1)| = \sqrt{(a_t^A(1))^2 + (a_n^A(1))^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi^2}{9}$

- Bの加速度の大きさ: $|a^B(1)| = \sqrt{(a_t^B(1))^2 + (a_n^B(1))^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例:

- 等速円運動と等加速度円運動を考えます。

- 等速円運動では、速度の大きさは一定ですが、加速度は常に中心向きに存在します。

- 等加速度円運動では、速度の大きさが増加するため、接線方向にも加速度が存在します。

- したがって、同じ半径で速度が等しい瞬間があっても、加速度は異なる場合があります（たとえば、上記 A と B の $t=1$ の場合）。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡と位置のプロット：結果は図に描画されるべきです。

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: $T^A = 6$, Bには周期は存在しない。

(iv) 接線速度: $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) 速度ベクトルの図示：結果は図に描画されるべきです。$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(vi) 加速度ベクトルの図示：結果は図に描画されるべきです。

(vii) 加速度成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ: $|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 加速度が異なる例：上記の説明を参照。