列車Aは東向きに速さ $20 \mathrm{~m/s}$ で進み、自動車Bは南向きに速さ $20 \mathrm{~m/s}$ で進んでいる。 (1) Aに対するBの相対速度の大きさと向きを求めよ。 (2) 自動車Cが北向きに進んでいる。Aに対するCの相対速度の大きさは $25 \mathrm{~m/s}$ であった。Cの速さ $v_c [\mathrm{~m/s}]$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

列車Aは東向きに速さ $20 \mathrm{~m/s}$ で進み、自動車Bは南向きに速さ $20 \mathrm{~m/s}$ で進んでいる。

(1) Aに対するBの相対速度の大きさと向きを求めよ。

(2) 自動車Cが北向きに進んでいる。Aに対するCの相対速度の大きさは $25 \mathrm{~m/s}$ であった。Cの速さ $v_c [\mathrm{~m/s}]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aに対するBの相対速度 $\vec{v}_{BA}$ は、$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ で求められます。

Aは東向きに $20 \mathrm{~m/s}$ 、Bは南向きに $20 \mathrm{~m/s}$ で進んでいます。

相対速度のベクトルを図示すると、東向きに $20 \mathrm{~m/s}$、南向きに $20 \mathrm{~m/s}$ のベクトルを組み合わせた直角三角形になります。

したがって、ピタゴラスの定理より、相対速度の大きさは $\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \mathrm{~m/s}$ となります。

また、向きは南西方向で、南向きの方向から西向きに45度傾いた方向になります。

(2) Aに対するCの相対速度 $\vec{v}_{CA}$ は、$\vec{v}_{CA} = \vec{v}_C - \vec{v}_A$ で求められます。

Aは東向きに $20 \mathrm{~m/s}$ 、Cは北向きに $v_c \mathrm{~m/s}$ で進んでいます。

相対速度の大きさ $|\vec{v}_{CA}|$ は $25 \mathrm{~m/s}$ ですから、

$|\vec{v}_{CA}|^2 = v_c^2 + 20^2$

$25^2 = v_c^2 + 20^2$

$625 = v_c^2 + 400$

$v_c^2 = 225$

$v_c = \sqrt{225} = 15 \mathrm{~m/s}$

3. 最終的な答え

(1) Aに対するBの相対速度の大きさは $20\sqrt{2} \mathrm{~m/s}$ で、向きは南西方向です。

(2) Cの速さは $15 \mathrm{~m/s}$ です。