単位ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を軸とする回転角 $\theta$ の回転変換を表す行列を求める。

1. 問題の内容

単位ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を軸とする回転角 $\theta$ の回転変換を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

$\mathbf{n}$ を軸とする回転変換の行列は、ロドリゲスの回転公式を用いて導出できる。ロドリゲスの回転公式は、任意のベクトル $\mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{n}$ を軸とする $\theta$ 回転後のベクトル $\mathbf{v'}$ を次のように与える。

$\mathbf{v'} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{n} \times \mathbf{v}) \sin\theta + \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\theta)$

この公式を行列の形で表現することを考える。

まず、$\mathbf{n} \times \mathbf{v}$ を行列で表現する。

$\mathbf{n} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} n_2 v_3 - n_3 v_2 \\ n_3 v_1 - n_1 v_3 \\ n_1 v_2 - n_2 v_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

したがって、$\mathbf{n} \times$ は次の歪対称行列に対応する。

$[\mathbf{n}]_{\times} = \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、$\mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})$ を行列で表現する。

$\mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} (n_1 v_1 + n_2 v_2 + n_3 v_3) = \begin{pmatrix} n_1^2 v_1 + n_1 n_2 v_2 + n_1 n_3 v_3 \\ n_2 n_1 v_1 + n_2^2 v_2 + n_2 n_3 v_3 \\ n_3 n_1 v_1 + n_3 n_2 v_2 + n_3^2 v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_1^2 & n_1 n_2 & n_1 n_3 \\ n_2 n_1 & n_2^2 & n_2 n_3 \\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

したがって、$\mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot)$ は次の行列に対応する。

$\mathbf{n} \mathbf{n}^T = \begin{pmatrix} n_1^2 & n_1 n_2 & n_1 n_3 \\ n_2 n_1 & n_2^2 & n_2 n_3 \\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^2 \end{pmatrix}$

以上の結果を用いると、ロドリゲスの回転公式を行列で表せる。

$\mathbf{v'} = (\mathbf{I} \cos\theta + [\mathbf{n}]_{\times} \sin\theta + \mathbf{n} \mathbf{n}^T (1 - \cos\theta)) \mathbf{v}$

ここで、$\mathbf{I}$ は単位行列である。したがって、回転行列 $\mathbf{R}$ は次のように表される。

$\mathbf{R} = \mathbf{I} \cos\theta + [\mathbf{n}]_{\times} \sin\theta + \mathbf{n} \mathbf{n}^T (1 - \cos\theta)$

$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cos\theta + \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix} \sin\theta + \begin{pmatrix} n_1^2 & n_1 n_2 & n_1 n_3 \\ n_2 n_1 & n_2^2 & n_2 n_3 \\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^2 \end{pmatrix} (1 - \cos\theta)$

$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos\theta + n_1^2(1-\cos\theta) & n_1 n_2 (1-\cos\theta) - n_3 \sin\theta & n_1 n_3 (1-\cos\theta) + n_2 \sin\theta \\ n_2 n_1 (1-\cos\theta) + n_3 \sin\theta & \cos\theta + n_2^2(1-\cos\theta) & n_2 n_3 (1-\cos\theta) - n_1 \sin\theta \\ n_3 n_1 (1-\cos\theta) - n_2 \sin\theta & n_3 n_2 (1-\cos\theta) + n_1 \sin\theta & \cos\theta + n_3^2(1-\cos\theta) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \cos\theta + n_1^2(1-\cos\theta) & n_1 n_2 (1-\cos\theta) - n_3 \sin\theta & n_1 n_3 (1-\cos\theta) + n_2 \sin\theta \\ n_2 n_1 (1-\cos\theta) + n_3 \sin\theta & \cos\theta + n_2^2(1-\cos\theta) & n_2 n_3 (1-\cos\theta) - n_1 \sin\theta \\ n_3 n_1 (1-\cos\theta) - n_2 \sin\theta & n_3 n_2 (1-\cos\theta) + n_1 \sin\theta & \cos\theta + n_3^2(1-\cos\theta) \end{pmatrix}$