問1：x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める（初期条件：$t=0$ で $x=0$）。 (iv) 時刻が経過すると、質点の位置はどのように振る舞うか述べる。 問2：地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を確かめる。 (iii) 十分時間が経過したときの速度（終端速度）を求める。

1. 問題の内容

問1：x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める（初期条件：$t=0$ で $x=0$）。

(iv) 時刻が経過すると、質点の位置はどのように振る舞うか述べる。

問2：地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を確かめる。

(iii) 十分時間が経過したときの速度（終端速度）を求める。

2. 解き方の手順

問1：

(i) グラフの概形：

$v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ のグラフを考える。

$e^{-\frac{t}{2}}$ は単調減少関数であり、$\sin(2t)$ は周期 $\pi$ の振動関数である。

したがって、$v(t)$ は振動しながら振幅が減少していく関数となる。

$t=0$ のとき $v(0) = 0$ である。$v(t) = 0$ となるのは $\sin(2t) = 0$ のとき、つまり $2t = n\pi$ ($n$ は整数)、すなわち $t = \frac{n\pi}{2}$ のときである。

$0 \le t \le 2\pi$ の範囲では、$t = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ で $v(t)=0$ となる。$v(t)$ が正となるのは $0 < t < \pi/2$ と $\pi < t < 3\pi/2$ のときで、$v(t)$ が負となるのは $\pi/2 < t < \pi$ と $3\pi/2 < t < 2\pi$ のときである。$t$ が大きくなるにつれて $e^{-\frac{t}{2}}$ が小さくなるため、振幅は小さくなる。

(ii) 加速度 $a(t)$：

加速度は速度の時間微分である。

$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t))$

積の微分公式より、

$a(t) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + e^{-\frac{t}{2}} (2 \cos(2t))$

$a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2 \cos(2t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$：

位置は速度の時間積分である。

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

部分積分を2回行うことで積分を計算する。

$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

$u = \sin(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、$du = 2\cos(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}} 2\cos(2t) dt = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4\int e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) dt$

$J = \int e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) dt$

$u = \cos(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$ とすると、$du = -2\sin(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$J = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}} (-2\sin(2t)) dt = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4\int e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) dt$

$J = -2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I$

したがって、$I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) + 4(-2e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 4I) = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t) - 16I$

$17I = -2e^{-\frac{t}{2}}\sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}}\cos(2t)$

$I = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + C$

したがって、$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$0 = -\frac{2}{17} e^{0} (\sin(0) + 4\cos(0)) + C = -\frac{2}{17}(0 + 4) + C = -\frac{8}{17} + C$

よって、$C = \frac{8}{17}$

$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + \frac{8}{17}$

(iv) 時刻が経つにつれて：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ であるから、

$\lim_{t \to \infty} x(t) = \frac{8}{17}$

したがって、質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：

鉛直下向きを $y$ 軸の正の向きとする。物体に作用する力は、重力 $mg$ と、空気抵抗 $-bv$ である。ニュートンの運動方程式より、

$m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認：

与えられた解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を運動方程式に代入する。

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$m \frac{dv}{dt} = -b(v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$mg - bv(t) = mg - b [(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

よって、$m \frac{dv}{dt} = mg - bv(t)$ が成り立つ。また、$t=0$ を代入すると $v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{0} + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$ となるため、初期条件も満たしている。

(iii) 終端速度：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ であるから、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

問1：

(i) グラフは上記の「解き方の手順」を参照。

(ii) $a(t) = e^{-\frac{t}{2}}(2 \cos(2t) - \frac{1}{2} \sin(2t))$

(iii) $x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} (\sin(2t) + 4\cos(2t)) + \frac{8}{17}$

(iv) 質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。

問2：

(i) $m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。