問題1は、x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられたときに、以下の問いに答える問題です。 (i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのようにふるまうかを答える。 問題2は、地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える問題です。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) のみであるとする。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度は一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求める。

1. 問題の内容

問題1は、x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$ が与えられたときに、以下の問いに答える問題です。

(i) $0 \leq t \leq 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描く。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置はどのようにふるまうかを答える。

問題2は、地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動について、以下の問いに答える問題です。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) のみであるとする。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度は一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求める。

2. 解き方の手順

【問1】

(i) グラフの概形

$v(t) = e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t)$

$e^{-\frac{t}{2}}$ は時間とともに減少する指数関数です。$\sin(2t)$ は周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ の振動関数です。

$v(t)$ は、減衰する振幅を持つ振動になります。

$t=0$ のとき、 $v(0) = e^0 \sin(0) = 0$

$t=\frac{\pi}{2}$ のとき、 $v(\frac{\pi}{2}) = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin(\pi) = 0$

$t=\pi$ のとき、 $v(\pi) = e^{-\frac{\pi}{2}} \sin(2\pi) = 0$

$t=\frac{3\pi}{2}$ のとき、 $v(\frac{3\pi}{2}) = e^{-\frac{3\pi}{4}} \sin(3\pi) = 0$

$t=2\pi$ のとき、 $v(2\pi) = e^{-\pi} \sin(4\pi) = 0$

$v(t)$ は $t=0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ で0になります。$t=\frac{\pi}{4}$ のとき最大値をとり、$t=\frac{3\pi}{4}$ のとき最小値をとります。

(ii) 加速度 $a(t)$

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t))$

$a(t) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 2 e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$a(t) = e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

部分積分を2回行うことで、$x(t)$ を求めることができます。

$I = \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

$u = \sin(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$

$du = 2\cos(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 2 \int e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t)) dt$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4 \int e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) dt$

$u = \cos(2t), dv = e^{-\frac{t}{2}} dt$

$du = -2\sin(2t) dt, v = -2e^{-\frac{t}{2}}$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) + 4 (-2e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - \int -2e^{-\frac{t}{2}} (-2\sin(2t)) dt)$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 16 \int e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) dt$

$I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) - 16 I$

$17I = -2e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - 8e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t)$

$I = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$

$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + C$

$x(0) = 0$ より、

$0 = -\frac{2}{17} (0) - \frac{8}{17} (1) + C$

$C = \frac{8}{17}$

$x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + \frac{8}{17}$

(iv) 時刻が経つにつれて

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{t}{2}} \to 0$ より、

$\lim_{t\to\infty} x(t) = \frac{8}{17}$

質点の位置は $\frac{8}{17}$ に近づく。

【問2】

(i) 運動方程式

鉛直下向きを正とすると、

$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$m \frac{dv}{dt} = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -b v(t) + mg$

$mg - bv(t) = mg - b((v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) = mg - b(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

したがって、与えられた解は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ より、

$\lim_{t\to\infty} v(t) = \frac{mg}{b}$

終端速度は $\frac{mg}{b}$

3. 最終的な答え

【問1】

(i) グラフの概形：減衰する振幅を持つ振動。$t=0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ で0になる。

(ii) 加速度: $a(t) = e^{-\frac{t}{2}} (2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t))$

(iii) 位置: $x(t) = -\frac{2}{17} e^{-\frac{t}{2}} \sin(2t) - \frac{8}{17} e^{-\frac{t}{2}} \cos(2t) + \frac{8}{17}$

(iv) 質点の位置: $\frac{8}{17}$ に近づく

【問2】

(i) 運動方程式: $m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認: 与えられた解は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$