2階線形同次微分方程式 $4y'' - 12y' + 9y = 0$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$, $y' = 2$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $4y'' - 12y' + 9y = 0$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$, $y' = 2$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式の特性方程式を求めます。特性方程式は、

$4r^2 - 12r + 9 = 0$

と表されます。

この二次方程式を解くと、

$(2r - 3)^2 = 0$

となり、重解 $r = \frac{3}{2}$ を得ます。

重解の場合、一般解は

$y = (c_1 + c_2 x)e^{\frac{3}{2}x}$

と表されます。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

次に、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を用いて、$c_1$ と $c_2$ の値を求めます。

$y(0) = (c_1 + c_2 \cdot 0)e^{\frac{3}{2} \cdot 0} = c_1 e^0 = c_1 = 1$

したがって、$c_1 = 1$ となります。

次に、$y'$ を求めます。

$y' = c_2 e^{\frac{3}{2}x} + (c_1 + c_2 x) \frac{3}{2} e^{\frac{3}{2}x} = (c_2 + \frac{3}{2}c_1 + \frac{3}{2}c_2 x) e^{\frac{3}{2}x}$

初期条件 $x=0$ のとき $y'=2$ を用いて、$c_2$ の値を求めます。

$y'(0) = (c_2 + \frac{3}{2}c_1 + \frac{3}{2}c_2 \cdot 0) e^{\frac{3}{2} \cdot 0} = c_2 + \frac{3}{2}c_1 = 2$

$c_1 = 1$ を代入すると、

$c_2 + \frac{3}{2} = 2$

$c_2 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$c_2 = \frac{1}{2}$ となります。

$c_1=1$ と $c_2=\frac{1}{2}$ を一般解に代入すると、

$y = (1 + \frac{1}{2}x) e^{\frac{3}{2}x} = (\frac{1}{2}x + 1) e^{\frac{3}{2}x}$

3. 最終的な答え

5. $y = (\frac{1}{2}x + 1)e^{\frac{3}{2}x}$