長さ $L$、質量 $m$ の一様な棒ABの一端Aが壁に蝶番で固定され、他端Bが糸で壁に繋がれています。糸と水平面のなす角は30度です。Aにはたらく力の水平方向と鉛直方向の成分をそれぞれ $F_x$ , $F_y$ とし、Bにはたらく糸の張力を $T$ 、重力加速度を $g$ とします。 (1) 棒にはたらく力のつり合いの式を水平、鉛直方向についてそれぞれ示してください。 (2) Aのまわりの力のモーメントのつり合いの式を示してください。 (3) $F_x$, $F_y$, $T$ をそれぞれ $m$, $g$ で表してください。 (4) Aにはたらく合力の大きさを $F$ とするとき、$F$ を $m$, $g$ で表してください。

1. 問題の内容

長さ $L$、質量 $m$ の一様な棒ABの一端Aが壁に蝶番で固定され、他端Bが糸で壁に繋がれています。糸と水平面のなす角は30度です。Aにはたらく力の水平方向と鉛直方向の成分をそれぞれ $F_x$ , $F_y$ とし、Bにはたらく糸の張力を $T$ 、重力加速度を $g$ とします。

(1) 棒にはたらく力のつり合いの式を水平、鉛直方向についてそれぞれ示してください。

(2) Aのまわりの力のモーメントのつり合いの式を示してください。

(3) $F_x$, $F_y$, $T$ をそれぞれ $m$, $g$ で表してください。

(4) Aにはたらく合力の大きさを $F$ とするとき、$F$ を $m$, $g$ で表してください。

2. 解き方の手順

(1) 力のつり合い

水平方向： $F_x - T\cos{30^\circ} = 0$

鉛直方向： $F_y + T\sin{30^\circ} - mg = 0$

(2) モーメントのつり合い（A点のまわり）

反時計回りを正とすると：

$mg \cdot \frac{L}{2} - T\sin{30^\circ} \cdot L = 0$

(3) $F_x$, $F_y$, $T$ を $m$, $g$ で表す

モーメントの式より：

$\frac{mgL}{2} = T \sin{30^\circ}L$

$T = \frac{mg}{2 \sin{30^\circ}} = \frac{mg}{2 \cdot \frac{1}{2}} = mg$

水平方向のつり合いの式より：

$F_x = T \cos{30^\circ} = mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$

鉛直方向のつり合いの式より：

$F_y = mg - T \sin{30^\circ} = mg - mg \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}mg$

(4) Aにはたらく合力の大きさ $F$

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}mg)^2 + (\frac{1}{2}mg)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}m^2g^2 + \frac{1}{4}m^2g^2} = \sqrt{m^2g^2} = mg$

3. 最終的な答え

(1)

水平方向： $F_x - T\cos{30^\circ} = 0$

鉛直方向： $F_y + T\sin{30^\circ} - mg = 0$

(2)

$mg \cdot \frac{L}{2} - T\sin{30^\circ} \cdot L = 0$

(3)

$F_x = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$

$F_y = \frac{1}{2}mg$

$T = mg$

(4)

$F = mg$