デルタ結線された三相交流回路に、線間電圧 $E_{ab} = 200\angle 0^\circ$, $E_{bc} = 200\angle -120^\circ$, $E_{ca} = 200\angle -240^\circ$ の対称三相電圧を加えたとき、抵抗Rを流れる電流 $I_{ab}, I_{bc}, I_{ca}$ を求めよ。ただし、$R = 9 \Omega$, $X = 4 \Omega$とする。

1. 問題の内容

デルタ結線された三相交流回路に、線間電圧 $E_{ab} = 200\angle 0^\circ$, $E_{bc} = 200\angle -120^\circ$, $E_{ca} = 200\angle -240^\circ$ の対称三相電圧を加えたとき、抵抗Rを流れる電流 $I_{ab}, I_{bc}, I_{ca}$ を求めよ。ただし、$R = 9 \Omega$, $X = 4 \Omega$とする。

2. 解き方の手順

まず、相電圧を計算します。線間電圧と相電圧の関係は、$V_{相} = V_{線間} / \sqrt{3}$ ですが、ここでは抵抗RとリアクタンスXが直列に接続されているため、直接線間電圧から計算する必要があります。

各相のインピーダンス $Z$ を求めます。$Z = R + jX$ の形で表されますが、ここでは抵抗とリアクタンスが直列に接続されているため、$Z = R + jX$ となります。

$Z = 9 + j4$

各相の電流をオームの法則を使って計算します。$I = V / Z$ であり、ここでは線間電圧を各相のインピーダンスで割ることで、各相の電流が求められます。

$I_{ab} = \frac{E_{ab}}{Z} = \frac{200\angle 0^\circ}{9 + j4}$

$I_{bc} = \frac{E_{bc}}{Z} = \frac{200\angle -120^\circ}{9 + j4}$

$I_{ca} = \frac{E_{ca}}{Z} = \frac{200\angle -240^\circ}{9 + j4}$

まず、分母を極座標形式に変換します。

$|Z| = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \approx 9.85$

$\theta = \arctan(\frac{4}{9}) \approx 23.96^\circ$

したがって、$Z = 9.85 \angle 23.96^\circ$

各相の電流を計算します。

$I_{ab} = \frac{200\angle 0^\circ}{9.85 \angle 23.96^\circ} \approx 20.3 \angle -23.96^\circ$ [A]

$I_{bc} = \frac{200\angle -120^\circ}{9.85 \angle 23.96^\circ} \approx 20.3 \angle -143.96^\circ$ [A]

$I_{ca} = \frac{200\angle -240^\circ}{9.85 \angle 23.96^\circ} \approx 20.3 \angle -263.96^\circ$ [A]

3. 最終的な答え

$I_{ab} \approx 20.3 \angle -23.96^\circ$ [A]

$I_{bc} \approx 20.3 \angle -143.96^\circ$ [A]

$I_{ca} \approx 20.3 \angle -263.96^\circ$ [A]