質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動について考えます。鉛直上向きを $y$ 軸とします。物体には下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する上向きの空気抵抗 $bv$ が働きます。以下の問いに答えます。 (i) 物体が満たす運動方程式を立ててください。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめてください。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求めてください。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動について考えます。鉛直上向きを $y$ 軸とします。物体には下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する上向きの空気抵抗 $bv$ が働きます。以下の問いに答えます。

(i) 物体が満たす運動方程式を立ててください。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめてください。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、終端速度を求めてください。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式の導出

物体の運動方程式は、ニュートンの運動の第二法則 $F = ma$ から導かれます。

鉛直下向きを正とすると、物体に働く力は重力 $mg$ と空気抵抗 $-bv$ です。したがって、運動方程式は次のようになります。

$ma = mg - bv$

加速度 $a$ は速度 $v$ の時間微分 $\frac{dv}{dt}$ なので、運動方程式は以下のようになります。

$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認

与えられた解 $v(t) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ が運動方程式を満たすことを確認します。まず、$v(t)$ を時間 $t$ で微分します。

$\frac{dv}{dt} = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right) \left(-\frac{b}{m}\right) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m}\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t}$

これを運動方程式 $m\frac{dv}{dt} = mg - bv$ に代入します。

$m\left(-\frac{b}{m}\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t}\right) = mg - b\left(\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}\right)$

$-b\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} = mg - b\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} - mg$

$-b\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} = -b\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t}$

左辺と右辺が一致するので、与えられた $v(t)$ は運動方程式を満たします。

次に初期条件 $t=0$ で $v=v_0$ を満たすことを確認します。

$v(0) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}(0)} + \frac{mg}{b} = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)(1) + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$

初期条件も満たすので、与えられた $v(t)$ は運動方程式の解です。

(iii) 終端速度の導出

十分時間が経過したとき、$t \to \infty$ で $v(t)$ がどうなるかを調べます。

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} \left[\left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}\right]$

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)(0) + \frac{mg}{b} = \frac{mg}{b}$

したがって、十分時間が経過すると速度は $\frac{mg}{b}$ に漸近します。これが終端速度です。

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式: $m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 解の確認: 与えられた $v(t) = \left(v_0 - \frac{mg}{b}\right)e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ は運動方程式と初期条件を満たします。

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$