半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、時刻tにおける位置がそれぞれ以下のように与えられています。 $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ 与えられた位置ベクトルに基づいて、AとBの軌跡、角速度、周期、速度、加速度などを求め、それらの性質を考察する問題です。

はい、この問題について解説します。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、時刻tにおける位置がそれぞれ以下のように与えられています。

$r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

与えられた位置ベクトルに基づいて、AとBの軌跡、角速度、周期、速度、加速度などを求め、それらの性質を考察する問題です。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の描画と位置のプロット

まず、0 ≤ t ≤ 3におけるA, Bの軌跡をそれぞれ描きます。

次に、t = 0, 1, 2, 3における質点A, Bの位置を計算し、軌跡上に印をつけます。AとBの位置が区別できるように異なる記号を使用します。

Aの位置:

- t = 0: $r^A(0) = 2(\cos(-\frac{\pi}{6})i + \sin(-\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, -1)$

- t = 1: $r^A(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

- t = 2: $r^A(2) = 2(\cos(\frac{\pi}{2})i + \sin(\frac{\pi}{2})j) = 2(0i + 1j) = (0, 2)$

- t = 3: $r^A(3) = 2(\cos(\frac{5\pi}{6})i + \sin(\frac{5\pi}{6})j) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (-\sqrt{3}, 1)$

Bの位置:

- t = 0: $r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = 2(1i + 0j) = (2, 0)$

- t = 1: $r^B(1) = 2(\cos(\frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j) = (\sqrt{3}, 1)$

- t = 2: $r^B(2) = 2(\cos(\frac{2\pi}{3})i + \sin(\frac{2\pi}{3})j) = 2(-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-1, \sqrt{3})$

- t = 3: $r^B(3) = 2(\cos(\frac{3\pi}{2})i + \sin(\frac{3\pi}{2})j) = 2(0i - 1j) = (0, -2)$

(ii) 角速度の定義と計算

一般的な円運動の角速度の定義は、単位時間あたりの回転角の変化です。

角速度ωは、角度θの時間微分として表されます：$\omega = \frac{d\theta}{dt}$。

Aの角速度$\omega^A(t)$を計算します。$r^A(t)$から角度$\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$が得られるので、$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$。

Bの角速度$\omega^B(t)$を計算します。$r^B(t)$から角度$\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$が得られるので、$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$。

(iii) 周期の計算

Aの周期$T^A$を計算します。Aは等速円運動なので、$\omega^A = \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{T^A}$より、$T^A = 6$。

Bは等加速度円運動なので、周期は定義できません。

(iv) 接線速度の計算と運動の種類の確認

Aの接線速度$v^A(t)$を計算します。$v^A(t) = r \omega^A(t) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。

Aの接線速度は一定なので、Aは等速円運動です。

Bの接線速度$v^B(t)$を計算します。$v^B(t) = r \omega^B(t) = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$。

Bの接線速度は時間に比例して増加するので、Bは等加速度円運動です。

(v) t = 1における速度の計算と図示

$v^A(1) = \frac{2\pi}{3}$

$v^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

(vi) t = 1における加速度の計算と図示

Aの加速度$a^A(1)$を計算します。Aは等速円運動なので、向心加速度のみが存在します。$a^A(1) = r \omega^A(1)^2 = 2(\frac{\pi}{3})^2 = \frac{2\pi^2}{9}$。

Bの加速度$a^B(1)$を計算します。Bは等加速度円運動なので、向心加速度と接線加速度が存在します。角加速度$\alpha^B = \frac{d\omega^B}{dt} = \frac{\pi}{3}$なので、接線加速度$a_t^B = r \alpha^B = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。向心加速度$a_n^B = r \omega^B(1)^2 = 2 (\frac{\pi}{3})^2 = \frac{2\pi^2}{9}$。

(vii) t = 1における加速度の接線成分と法線成分

Aの接線方向成分$a_t^A(1) = 0$。法線方向成分$a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$。

Bの接線方向成分$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$。法線方向成分$a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$。

(viii) t = 1における加速度の大きさ

Aの加速度の大きさ$|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$。

Bの加速度の大きさ$|a^B(1)| = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例

同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なることがあります。

例えば、上記のAとBはt=1において同じ速度を持ちますが、Aは等速円運動であり向心加速度のみを持つ一方、Bは等加速度円運動であり、接線加速度と向心加速度の両方を持つため、加速度の大きさが異なります。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡と位置: 上記参照

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: $T^A = 6$, Bは周期なし

(iv) 接線速度: $v^A(t) = \frac{2\pi}{3}$, $v^B(t) = \frac{2\pi t}{3}$

(v) t=1における速度: 上記参照

(vi) t=1における加速度: 上記参照

(vii) t=1における加速度の成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさ: $|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{3} \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 例: 上記参照