半径2の円周上を運動する質点AとBについて、時刻 $t$ における位置ベクトルがそれぞれ $r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$ $r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$ で与えられている。 (i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡と、$t=0, 1, 2, 3$ における位置をプロットする。 (ii) 円運動の角速度の定義を述べ、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求める。 (iii) A, Bの周期を求める。 (iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認する。 (v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。 (vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求める。 (viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求める。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例を示す。

## 問題の解答

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点AとBについて、時刻 $t$ における位置ベクトルがそれぞれ

$r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

で与えられている。

(i) $0 \le t \le 3$ におけるA, Bの軌跡と、$t=0, 1, 2, 3$ における位置をプロットする。

(ii) 円運動の角速度の定義を述べ、A, Bの角速度 $\omega^A(t), \omega^B(t)$ を求める。

(iii) A, Bの周期を求める。

(iv) A, Bの速度の接線成分 $v^A(t), v^B(t)$ を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを確認する。

(v) $t=1$ におけるA, Bの速度 $v^A(1), v^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vi) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ を求め、(i)の軌跡上に図示する。

(vii) $t=1$ におけるA, Bの加速度 $a^A(1), a^B(1)$ の接線方向成分 $a_t^A(1), a_t^B(1)$ と法線方向成分 $a_n^A(1), a_n^B(1)$ を求める。

(viii) $t=1$ におけるA, Bの加速度の大きさ $|a^A(1)|, |a^B(1)|$ を求める。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも、加速度が異なる例を示す。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡のプロット

$r^A(t), r^B(t)$ に $t=0, 1, 2, 3$ を代入して、それぞれの位置を計算する。

A:

$r^A(0) = 2(\cos(-\pi/6)i + \sin(-\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i - 1/2 j) = (\sqrt{3} i - j)$

$r^A(1) = 2(\cos(\pi/6)i + \sin(\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (\sqrt{3} i + j)$

$r^A(2) = 2(\cos(\pi/2)i + \sin(\pi/2)j) = 2(0 i + 1 j) = (0 i + 2 j)$

$r^A(3) = 2(\cos(5\pi/6)i + \sin(5\pi/6)j) = 2(-\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (-\sqrt{3} i + j)$

B:

$r^B(0) = 2(\cos(0)i + \sin(0)j) = 2(1 i + 0 j) = (2 i + 0 j)$

$r^B(1) = 2(\cos(\pi/6)i + \sin(\pi/6)j) = 2(\sqrt{3}/2 i + 1/2 j) = (\sqrt{3} i + j)$

$r^B(2) = 2(\cos(2\pi/3)i + \sin(2\pi/3)j) = 2(-1/2 i + \sqrt{3}/2 j) = (-1 i + \sqrt{3} j)$

$r^B(3) = 2(\cos(3\pi/2)i + \sin(3\pi/2)j) = 2(0 i - 1 j) = (0 i - 2 j)$

これらの点を半径2の円上にプロットする。

(ii) 角速度の定義と計算

角速度は、単位時間あたりの角変位である。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

A: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ より、$\omega^A(t) = \frac{d\theta^A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

B: $\theta^B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$ より、$\omega^B(t) = \frac{d\theta^B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算

A: $\theta^A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$ より、一周するのに $2\pi = \frac{\pi T}{3}$。したがって $T = 6$。

B: 角速度が時間とともに変化するため、厳密な意味での周期は存在しない。

(iv) 速度の接線成分の計算

速度は位置ベクトルの時間微分である。

$v^A(t) = \frac{dr^A}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$v^B(t) = \frac{dr^B}{dt} = 2(-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6})j)$

速度の大きさ(速さ)は接線成分に対応する。

$|v^A(t)| = \sqrt{(-\frac{2\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}))^2 + (\frac{2\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}))^2} = \frac{2\pi}{3}$

$|v^B(t)| = \sqrt{(-\frac{2\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}))^2 + (\frac{2\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}))^2} = \frac{2\pi t}{3}$

$|v^A(t)|$ は時間に依存しない定数なので、Aは等速円運動である。

$|v^B(t)|$ は時間 $t$ に比例して増加するので、Bは等加速度円運動である。

(v) $t=1$ における速度

$v^A(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

$v^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

軌跡上にこれらのベクトルを図示する。

(vi) $t=1$ における加速度

加速度は速度の時間微分である。

$a^A(t) = \frac{dv^A}{dt} = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$a^B(t) = \frac{dv^B}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

$a^A(1) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j)$

$a^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\pi}{3}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi \sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

軌跡上にこれらのベクトルを図示する。

(vii) 接線方向と法線方向の加速度成分

A: 等速円運動なので、接線方向の加速度は0。法線方向は求心加速度で、$a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$。外向きを正とするので、$a_n^A = -\frac{2\pi^2}{9}$。

$a_t^A = 0$

B: 接線方向の加速度は速度の増加率に半径をかけたもの。$a_t^B = r \cdot \frac{d \omega^B}{dt} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

法線方向は求心加速度で、$a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi/3)^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$。外向きを正とするので、$a_n^B = -\frac{2\pi^2}{9}$。

(viii) 加速度の大きさ

$|a^A(1)| = \frac{v^2}{r} = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \sqrt{(\frac{2\pi}{3})^2 + (\frac{2\pi^2}{9})^2} = \sqrt{(\frac{2 \pi}{3})^2 + (\frac{v^2}{r})^2} = \frac{2\pi}{9}\sqrt{\pi^2 + 9}$

(ix) 加速度が異なる例

同じ半径で等速円運動をする場合でも、質量が異なる場合、向心力（加速度）は異なる。

例えば、半径 $r$ で速さ $v$ で運動する2つの質点A, Bがあり、それぞれの質量が $m_A$ と $m_B$ で $m_A \neq m_B$ であるとする。

このとき、それぞれの向心力（加速度）は、

$F_A = m_A \frac{v^2}{r}$

$F_B = m_B \frac{v^2}{r}$

したがって、$m_A \neq m_B$ ならば $F_A \neq F_B$ なので、加速度も異なる。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡のプロット: (解答を参照)

(ii) 角速度:

$\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$

$\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期:

A: 6

B: 周期は定義できない

(iv) 速度の接線成分:

$|v^A(t)| = \frac{2\pi}{3}$

$|v^B(t)| = \frac{2\pi t}{3}$

A: 等速円運動、B: 等加速度円運動

(v) $t=1$ における速度:

$v^A(1) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

$v^B(1) = (-\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j)$

(vi) $t=1$ における加速度:

$a^A(1) = (-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j)$

$a^B(1) = (-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi^2 \sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi \sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii) 接線方向と法線方向の加速度成分:

$a_t^A(1) = 0$

$a_n^A(1) = -\frac{2\pi^2}{9}$

$a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$

$a_n^B(1) = -\frac{2\pi^2}{9}$

(viii) 加速度の大きさ:

$|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \frac{2\pi}{9}\sqrt{\pi^2 + 9}$

(ix) 加速度が異なる例:

同じ速さで円運動をする質点の質量が異なる場合。