半径 $r = 5 \text{ cm}$、重さ $W = 9 \text{ N}$ の円柱が、長さ $AC = 50 \text{ cm}$ のロープで天井から吊り下げられている。円柱の表面はなめらかであり、点 B を指で押して図のような状態で静止している。ロープ AC に作用する張力 $S$ と、点 B において指で押している力 $P$ を求める。ただし、$\theta = 20^\circ$ とする。

1. 問題の内容

半径 $r = 5 \text{ cm}$、重さ $W = 9 \text{ N}$ の円柱が、長さ $AC = 50 \text{ cm}$ のロープで天井から吊り下げられている。円柱の表面はなめらかであり、点 B を指で押して図のような状態で静止している。ロープ AC に作用する張力 $S$ と、点 B において指で押している力 $P$ を求める。ただし、$\theta = 20^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、円柱に作用する力を考える。

- 重力 $W$ (下向き)

- ロープの張力 $S$ (A から C に向かう方向)

- 指で押す力 $P$ (円の中心 C から B に向かう方向)

ここで、$AC = 50 \text{ cm}$、$r = 5 \text{ cm}$ であるから、ロープ AC と鉛直線のなす角 $\theta$ が与えられているので、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ を利用して、力のつり合いの式を立てる。座標系は、水平方向を正の x 軸、鉛直上向きを正の y 軸とする。

力のつり合いの式は、以下のようになる。

- 水平方向: $S \sin\theta = P$

- 鉛直方向: $S \cos\theta = W$

これらの式から、$S$ と $P$ を求める。

まず、鉛直方向の式から $S$ を求める。

$S = \frac{W}{\cos\theta}$

次に、水平方向の式に $S$ を代入して $P$ を求める。

$P = S \sin\theta = \frac{W \sin\theta}{\cos\theta} = W \tan\theta$

与えられた値 $W = 9 \text{ N}$ と $\theta = 20^\circ$ を代入する。

$S = \frac{9}{\cos 20^\circ} \approx \frac{9}{0.9397} \approx 9.577 \text{ N}$

$P = 9 \tan 20^\circ \approx 9 \times 0.3640 \approx 3.276 \text{ N}$

3. 最終的な答え

ロープ AC に作用する力 $S$ は約 $9.577 \text{ N}$。

点 B において指で押している力 $P$ は約 $3.276 \text{ N}$。

$S \approx 9.58 \text{ N}$

$P \approx 3.28 \text{ N}$