質量 $m$ の荷物を載せた質量 $M$ のトラックが、長さ $L$、傾斜角 $\theta$ の斜面を登る。 (i) トラックが加速度 $a$ で登るとき、荷物に作用する摩擦力 $f$ を求めよ。 (ii) 荷物が滑り落ちないための、トラックの加速度の上限 $a_{max}$ を求めよ。 (iii) 加速度 $a$ で登るために必要なトラックの駆動力 $F$ を求めよ。 (iv) トラックの駆動力 $F_0 > (m+M)g\sin\theta$ で一定のとき、斜面の上端に達する時刻 $t_e$ と速さ $v_e$ を、$a$ を用いずに求めよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

質量 $m$ の荷物を載せた質量 $M$ のトラックが、長さ $L$、傾斜角 $\theta$ の斜面を登る。

(i) トラックが加速度 $a$ で登るとき、荷物に作用する摩擦力 $f$ を求めよ。

(ii) 荷物が滑り落ちないための、トラックの加速度の上限 $a_{max}$ を求めよ。

(iii) 加速度 $a$ で登るために必要なトラックの駆動力 $F$ を求めよ。

(iv) トラックの駆動力 $F_0 > (m+M)g\sin\theta$ で一定のとき、斜面の上端に達する時刻 $t_e$ と速さ $v_e$ を、$a$ を用いずに求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 荷物には重力、$mg$、垂直抗力、$N$、摩擦力、$f$ が働く。斜面に沿った方向の運動方程式は、

$ma = f - mg\sin\theta$

したがって、$f = ma + mg\sin\theta$

(ii) 荷物が滑り落ちない条件は、$f \le \mu N$ である。$N = mg\cos\theta$ より、$f \le \mu mg\cos\theta$。

(i) の結果より、$ma + mg\sin\theta \le \mu mg\cos\theta$。

よって、$a \le \mu g\cos\theta - g\sin\theta$。

したがって、$a_{max} = \mu g\cos\theta - g\sin\theta$。

(iii) トラックと荷物全体に働く力は、重力 $(m+M)g$、垂直抗力、$N'$、駆動力、$F$。斜面に沿った方向の運動方程式は、

$(m+M)a = F - (m+M)g\sin\theta$

したがって、$F = (m+M)(a + g\sin\theta)$。

(iv) 駆動力 $F_0$ が一定なので、加速度 $a'$ は一定である。

$F_0 - (m+M)g\sin\theta = (m+M)a'$

$a' = \frac{F_0}{m+M} - g\sin\theta$

斜面の上端に達するまでの距離 $L$ より、等加速度運動の公式 $x = v_0 t + \frac{1}{2} a' t^2$ において、$x = L$、$v_0 = 0$ より、$L = \frac{1}{2} a' t_e^2$。

したがって、$t_e = \sqrt{\frac{2L}{a'}} = \sqrt{\frac{2L}{\frac{F_0}{m+M} - g\sin\theta}} = \sqrt{\frac{2L(m+M)}{F_0 - (m+M)g\sin\theta}}$。

また、$v_e = a' t_e$ より、$v_e = \left(\frac{F_0}{m+M} - g\sin\theta\right) \sqrt{\frac{2L(m+M)}{F_0 - (m+M)g\sin\theta}} = \sqrt{\frac{2L(F_0 - (m+M)g\sin\theta)}{m+M}}$。

3. 最終的な答え

(i) $f = ma + mg\sin\theta$

(ii) $a_{max} = \mu g\cos\theta - g\sin\theta$

(iii) $F = (m+M)(a + g\sin\theta)$

(iv) $t_e = \sqrt{\frac{2L(m+M)}{F_0 - (m+M)g\sin\theta}}$、 $v_e = \sqrt{\frac{2L(F_0 - (m+M)g\sin\theta)}{m+M}}$