一様な板ABが支柱C, Dによって水平に支えられており、その上に重さ24Nのおもりが置かれている。板が支柱C, Dから受ける力の大きさをそれぞれ$N_C$ [N], $N_D$ [N]とする。おもりはCから右に$x$ [m]の位置にあるとする。 (1) 点Cのまわりの力のモーメントのつり合いの式を示す（反時計回りを正とする）。 (2) $N_C$, $N_D$を$x$を含む式でそれぞれ表す。 (3) 支柱Cにはたらく力の大きさ$N_C$の測定結果のグラフを記入し、実験において板の状態に、どの位置で、どのように変化が起こると考えられるか考察する。

1. 問題の内容

一様な板ABが支柱C, Dによって水平に支えられており、その上に重さ24Nのおもりが置かれている。板が支柱C, Dから受ける力の大きさをそれぞれ$N_C$ [N], $N_D$ [N]とする。おもりはCから右に$x$ [m]の位置にあるとする。

(1) 点Cのまわりの力のモーメントのつり合いの式を示す（反時計回りを正とする）。

(2) $N_C$, $N_D$を$x$を含む式でそれぞれ表す。

(3) 支柱Cにはたらく力の大きさ$N_C$の測定結果のグラフを記入し、実験において板の状態に、どの位置で、どのように変化が起こると考えられるか考察する。

2. 解き方の手順

(1) 点Cのまわりのモーメントのつり合いを考える。反時計回りを正とする。

板の重さは12Nであり、その重心は板の中央にある。Cから板の中心までの距離は$0.4m - 0.2m = 0.2m$である。おもりの重さは24Nであり、Cからの距離は$x$である。支柱Dが板を支える力$N_D$は、Cからの距離$0.4m$のところにある。

モーメントのつり合いの式は次のようになる。

$12N \cdot 0.2m + 24N \cdot x - N_D \cdot 0.4m = 0$

$2.4 + 24x - 0.4N_D = 0$

(2) 力のつり合いとモーメントのつり合いから、$N_C$と$N_D$を$x$で表す。

鉛直方向の力のつり合いより、$N_C + N_D = 12 + 24 = 36$

モーメントのつり合いの式を変形する。

$0.4N_D = 2.4 + 24x$

$N_D = 6 + 60x$

これを力のつり合いの式に代入すると、$N_C = 36 - N_D = 36 - (6 + 60x) = 30 - 60x$

$N_C = 30 - 60x$

$N_D = 6 + 60x$

(3) $N_D$のグラフより、$x = 0.5$のとき$N_D = 36$となる。$x=0.5$のとき、$N_C = 30-60\cdot0.5=0$となる。

つまり、$x>0.5$では、$N_C$は負の値を取る必要がある。これは板が支柱Cから離れることを意味する。よって、$x=0.5$で板が支柱Cから離れると考えられる。

$N_C = 30 - 60x$のグラフを描く。

$x=0$のとき、$N_C=30$

$x=0.1$のとき、$N_C = 30-60\cdot 0.1 = 24$

$x=0.2$のとき、$N_C = 30 - 60\cdot 0.2= 18$

$x=0.3$のとき、$N_C= 30-60\cdot 0.3=12$

$x=0.4$のとき、$N_C = 30-60\cdot 0.4=6$

$x=0.5$のとき、$N_C = 30-60\cdot 0.5 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 点Cのまわりの力のモーメントのつり合いの式：$2.4 + 24x - 0.4N_D = 0$

(2) $N_C = 30 - 60x$, $N_D = 6 + 60x$

(3) グラフは上記参照。板は$x = 0.5$ [m]の位置で支柱Cから離れる。