質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動を考えます。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とします。物体には、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する空気抵抗 $bv$ ($b > 0$) が働きます。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てます。 (ii) 初期条件 $t = 0$ で $v = v_0$ を満たす運動方程式の解が、 $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ であることを示します。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求めます。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が空気抵抗を受けながら落下する運動を考えます。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とします。物体には、鉛直下向きの重力 $mg$ と、速度に比例する空気抵抗 $bv$ ($b > 0$) が働きます。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てます。

(ii) 初期条件 $t = 0$ で $v = v_0$ を満たす運動方程式の解が、

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

であることを示します。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求めます。

2. 解き方の手順

(i) 運動方程式を立てる。

物体に働く力は、重力 $mg$ (下向き) と空気抵抗 $-bv$ (上向き) です。したがって、運動方程式は

$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

となります。

(ii) 与えられた解が運動方程式を満たすことを確認する。

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{b}{m} (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

これを運動方程式に代入すると、

$m \frac{dv}{dt} = m (-\frac{b}{m} (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}) = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t}$

一方、

$mg - bv = mg - b ((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) = mg - b (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} - mg = -b (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t}$

したがって、$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$ が成り立ちます。

また、$t = 0$ のとき、

$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^0 + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$

となり、初期条件を満たします。

(iii) 終端速度を求める。

十分時間が経過したとき、$t \to \infty$ で $e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ となるので、

$\lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} [(v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}] = 0 + \frac{mg}{b} = \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ です。

3. 最終的な答え

(i) 運動方程式: $m\frac{dv}{dt} = mg - bv$

(ii) 与えられた解は運動方程式と初期条件を満たす。

(iii) 終端速度: $\frac{mg}{b}$