半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの位置ベクトルが与えられたとき、以下の問いに答える問題です。 (i) 0 \leq t \leq 3における軌跡とt=0, 1, 2, 3における質点の位置を図示する。 (ii) 一般的な円運動の角速度の定義を述べ、質点A, Bの角速度を求める。 (iii) 質点A, Bの周期を求める。 (iv) 質点A, Bの速度の接線成分を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを示す。 (v) t=1における質点A, Bの速度を求め、軌跡上に図示する。 (vi) t=1における質点A, Bの加速度を求め、軌跡上に図示する。 (vii) t=1における質点A, Bの加速度の接線方向成分と法線方向成分を求める。 (viii) t=1における質点A, Bの加速度の大きさを求める。 (ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例を示す。

1. 問題の内容

半径2の円周上を運動する質点A, Bについて、それぞれの位置ベクトルが与えられたとき、以下の問いに答える問題です。

(i) 0 \leq t \leq 3における軌跡とt=0, 1, 2, 3における質点の位置を図示する。

(ii) 一般的な円運動の角速度の定義を述べ、質点A, Bの角速度を求める。

(iii) 質点A, Bの周期を求める。

(iv) 質点A, Bの速度の接線成分を求め、Aが等速円運動、Bが等加速度円運動であることを示す。

(v) t=1における質点A, Bの速度を求め、軌跡上に図示する。

(vi) t=1における質点A, Bの加速度を求め、軌跡上に図示する。

(vii) t=1における質点A, Bの加速度の接線方向成分と法線方向成分を求める。

(viii) t=1における質点A, Bの加速度の大きさを求める。

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例を示す。

2. 解き方の手順

(i) 軌跡の図示

質点Aの位置ベクトルは$r^A(t) = 2(\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$であり、質点Bの位置ベクトルは$r^B(t) = 2(\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$である。t=0, 1, 2, 3をそれぞれ代入して位置を計算し、軌跡とともに図示します。

(ii) 角速度の定義と計算

円運動の角速度は、位置ベクトルの角度の時間変化率で定義されます。

$\omega = \frac{d\theta}{dt}$

質点Aの角度は$\theta_A(t) = \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6}$なので、角速度は

$\omega^A(t) = \frac{d\theta_A}{dt} = \frac{\pi}{3}$

質点Bの角度は$\theta_B(t) = \frac{\pi t^2}{6}$なので、角速度は

$\omega^B(t) = \frac{d\theta_B}{dt} = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期の計算

質点Aの角速度は一定なので、周期は$T_A = \frac{2\pi}{\omega^A} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$

質点Bの角速度は時間とともに変化するため、周期は定義できません。

(iv) 速度の接線成分の計算

速度は位置ベクトルを時間で微分することで求まります。

$v^A(t) = \frac{dr^A}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$v^B(t) = \frac{dr^B}{dt} = 2(-\frac{\pi t}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi t}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6})j)$

速度の大きさは

$|v^A(t)| = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

$|v^B(t)| = 2 \cdot \frac{\pi t}{3} = \frac{2\pi t}{3}$

質点Aの速度の大きさは一定なので等速円運動であり、質点Bの速度の大きさは時間とともに一定の割合で増加するので等加速度円運動です。

(v) t=1における速度の計算

$v^A(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}j) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j$

$v^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2}i + \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}j) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j$

これらを(i)の軌跡上に図示します。

(vi) t=1における加速度の計算

加速度は速度ベクトルを時間で微分することで求まります。

$a^A(t) = \frac{dv^A}{dt} = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{6})j)$

$a^B(t) = \frac{dv^B}{dt} = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\cos(\frac{\pi t^2}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi t^2}{6}) - \frac{\pi^2 t^2}{9}\sin(\frac{\pi t^2}{6})j)$

$a^A(1) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6})i - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi^2}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\pi^2}{9}\cdot\frac{1}{2}j) = -\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j$

$a^B(1) = 2(-\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\cos(\frac{\pi}{6})i + \frac{\pi}{3}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi^2}{9}\sin(\frac{\pi}{6})j) = 2(-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\pi}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{9}\cdot\frac{1}{2}j) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

これらを(i)の軌跡上に図示します。

(vii) t=1における加速度の接線方向成分と法線方向成分の計算

接線方向成分$a_t$は速度の大きさの時間変化率である。

$a_t^A = \frac{d|v^A|}{dt} = 0$

$a_t^B = \frac{d|v^B|}{dt} = \frac{2\pi}{3}$

法線方向成分$a_n$は$a_n = \frac{v^2}{r}$で与えられる。

$a_n^A(1) = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

$a_n^B(1) = \frac{(\frac{2\pi}{3})^2}{2} = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさの計算

$|a^A(1)| = \sqrt{(-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2 + (-\frac{\pi^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{3\pi^4}{81} + \frac{\pi^4}{81}} = \sqrt{\frac{4\pi^4}{81}} = \frac{2\pi^2}{9}$

$|a^B(1)| = \sqrt{(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})^2 + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})^2} = \sqrt{\frac{\pi^2}{9} + \frac{2\pi^3\sqrt{3}}{27} + \frac{3\pi^4}{81} + \frac{3\pi^2}{9} - \frac{2\pi^3\sqrt{3}}{27} + \frac{\pi^4}{81}} = \sqrt{\frac{4\pi^2}{9} + \frac{4\pi^4}{81}} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1+\frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例

等速円運動と等加速度円運動は、同じ半径で同じ速度になったとしても、加速度が異なります。等速円運動では接線方向の加速度は0ですが、等加速度円運動では接線方向の加速度が存在します。

3. 最終的な答え

(i) 軌跡とt=0,1,2,3における質点の位置：図示（省略）

(ii) 角速度: $\omega^A(t) = \frac{\pi}{3}$, $\omega^B(t) = \frac{\pi t}{3}$

(iii) 周期: $T_A = 6$, $T_B$は定義できない

(iv) 速度: $|v^A(t)| = \frac{2\pi}{3}$, $|v^B(t)| = \frac{2\pi t}{3}$。Aは等速円運動、Bは等加速度円運動。

(v) t=1における速度：図示（省略）。$v^A(1) = v^B(1) = -\frac{\pi}{3}i + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}j$

(vi) t=1における加速度：図示（省略）。$a^A(1) = -\frac{\pi^2\sqrt{3}}{9}i - \frac{\pi^2}{9}j$, $a^B(1) = (-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi^2\sqrt{3}}{9})i + (\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi^2}{9})j$

(vii) t=1における加速度の接線方向成分と法線方向成分: $a_t^A(1) = 0$, $a_t^B(1) = \frac{2\pi}{3}$, $a_n^A(1) = \frac{2\pi^2}{9}$, $a_n^B(1) = \frac{2\pi^2}{9}$

(viii) t=1における加速度の大きさ: $|a^A(1)| = \frac{2\pi^2}{9}$, $|a^B(1)| = \frac{2\pi}{3}\sqrt{1+\frac{\pi^2}{9}}$

(ix) 同じ半径で速度が等しい円運動でも加速度が異なる例：等速円運動と等加速度円運動。