集合 $A = \{3, a, 2a+1\}$、集合 $B = \{5, 6, 3a-3\}$、および $A \cap B = \{3, 5\}$ が与えられているとき、定数 $a$ の値と集合 $A \cup B$ を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{3, a, 2a+1\}$、集合 $B = \{5, 6, 3a-3\}$、および $A \cap B = \{3, 5\}$ が与えられているとき、定数 $a$ の値と集合 $A \cup B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 5\}$ より、$A$と$B$の両方に$3$と$5$が含まれている。

$A = \{3, a, 2a+1\}$ より、$a$ か $2a+1$ のどちらかが $5$ でなければならない。

$B = \{5, 6, 3a-3\}$ より、$3a-3$ は $3$ または $5$ または $6$ でなければならない。

場合1: $a=5$ のとき

$A = \{3, 5, 2(5)+1\} = \{3, 5, 11\}$

$B = \{5, 6, 3(5)-3\} = \{5, 6, 12\}$

$A \cap B = \{5\} \neq \{3, 5\}$ なので、この場合は不適。

場合2: $2a+1 = 5$ のとき

$2a = 4$

$a = 2$

$A = \{3, 2, 5\}$

$B = \{5, 6, 3(2)-3\} = \{5, 6, 3\}$

$A \cap B = \{3, 5\}$ となるので、この場合は適する。

したがって、$a=2$ である。

このとき、$A = \{3, 2, 5\}$、$B = \{5, 6, 3\}$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6\}$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6\}$