問題は、P31の公式1の(6)を証明することです。具体的には、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = 1$ を示す必要があります。

1. 問題の内容

問題は、P31の公式1の(6)を証明することです。具体的には、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = 1$ を示す必要があります。

2. 解き方の手順

まず、指数関数のテイラー展開を思い出します。

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$

ここで、$u = 4x$とおくと、

$e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \frac{(4x)^3}{3!} + \dots$

したがって、$e^{4x} - 1 = 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \frac{(4x)^3}{3!} + \dots$

$\frac{e^{4x} - 1}{4x} = 1 + \frac{4x}{2!} + \frac{(4x)^2}{3!} + \dots$

$x \to 0$ の極限を考えると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{4x}{2!} + \frac{(4x)^2}{3!} + \dots \right) = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = 1$ が示されました。

別の方法として、$t=4x$と置くと、$x\to 0$のとき$t\to 0$である。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t}$

ここで、$e^t$の微分を考えると、$\frac{d}{dt} e^t = e^t$

よって、$\lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - e^0}{t - 0} = \frac{d}{dt} e^t |_{t=0} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{4x} = 1$