与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - y^2}{xy}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - y^2}{xy}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形であるため、$y = vx$ とおいて解きます。

$y = vx$ より、$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x^2 - (vx)^2}{x(vx)} = \frac{2x^2 - v^2x^2}{vx^2} = \frac{2 - v^2}{v}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{2 - v^2}{v} - v = \frac{2 - v^2 - v^2}{v} = \frac{2 - 2v^2}{v}$

変数を分離して積分します。

$\frac{v}{2 - 2v^2} dv = \frac{1}{x} dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{v}{2 - 2v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$

左辺の積分は、$u = 2 - 2v^2$ と置換すると、$du = -4v dv$ となり、$\int \frac{v}{2 - 2v^2} dv = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{4} \ln |u| + C_1 = -\frac{1}{4} \ln |2 - 2v^2| + C_1$

右辺の積分は、$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2$

したがって、

$-\frac{1}{4} \ln |2 - 2v^2| = \ln |x| + C$ （$C = C_2 - C_1$）

$\ln |2 - 2v^2| = -4\ln |x| + C' = \ln |x^{-4}| + C'$ （$C' = -4C$）

$|2 - 2v^2| = e^{C'} |x^{-4}| = K |x^{-4}|$ （$K = e^{C'}$）

$2 - 2v^2 = \pm K x^{-4} = C'' x^{-4}$ （$C'' = \pm K$）

$2 - 2 (\frac{y}{x})^2 = C'' x^{-4}$

$2 - 2 \frac{y^2}{x^2} = C'' x^{-4}$

$2x^2 - 2y^2 = C'' x^{-2}$

$2x^4 - 2x^2y^2 = C''$

$2x^4 - 2x^2y^2 = C$ （$C = C''$）

3. 最終的な答え

$2x^4 - 2x^2y^2 = C$

または

$x^4 - x^2y^2 = C'$ （$C' = C/2$）