関数 $y = x^3 - 9x$ の増減表を作成し、グラフを描画する。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 9x$ の増減表を作成し、グラフを描画する。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める

与えられた関数 $y = x^3 - 9x$ の導関数 $y'$ を計算します。

$y' = 3x^2 - 9$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 9 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ3: 増減表を作成する

$x = -\sqrt{3}$ と $x = \sqrt{3}$ の前後で $y'$ の符号がどう変化するか調べます。

| x | $(-\infty, -\sqrt{3})$ | $-\sqrt{3}$ | $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ | $\sqrt{3}$ | $(\sqrt{3}, \infty)$ |

|--------|-------------------------|-------------|------------------------|------------|-----------------------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

ステップ4: 極値を求める

$x = -\sqrt{3}$ のとき、 $y = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$x = \sqrt{3}$ のとき、 $y = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

ステップ5: グラフを描画する

増減表と極値の情報を使ってグラフを描画します。グラフは、$x=-\sqrt{3}$で極大値$6\sqrt{3}$をとり、$x=\sqrt{3}$で極小値$-6\sqrt{3}$をとる3次関数となります。また、$x=0$で$y=0$なので原点を通ります。$y = x(x^2 - 9) = x(x-3)(x+3)$なので、$x$軸との交点は、$x = -3, 0, 3$ です。

3. 最終的な答え

増減表：

| x | $(-\infty, -\sqrt{3})$ | $-\sqrt{3}$ | $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ | $\sqrt{3}$ | $(\sqrt{3}, \infty)$ |

|--------|-------------------------|-------------|------------------------|------------|-----------------------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | $6\sqrt{3}$ | 減少 | $-6\sqrt{3}$ | 増加 |

極大値：$6\sqrt{3}$ ($x = -\sqrt{3}$ のとき)

極小値：$-6\sqrt{3}$ ($x = \sqrt{3}$ のとき)

グラフ：（グラフの描画は省略。上記の情報からグラフを描画してください。）