与えられた関数 $f(x) = e^{2x}(x^3 + 2x + 3)$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = e^{2x}(x^3 + 2x + 3)$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

積の微分法は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられることを利用します。

この問題では、$u(x) = e^{2x}$ と $v(x) = x^3 + 2x + 3$ とおきます。

まず、$u(x) = e^{2x}$ の微分を計算します。

合成関数の微分法を用いると、$u'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$ となります。

次に、$v(x) = x^3 + 2x + 3$ の微分を計算します。

$v'(x) = (x^3 + 2x + 3)' = 3x^2 + 2$ となります。

積の微分法を用いて、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$f'(x) = 2e^{2x}(x^3 + 2x + 3) + e^{2x}(3x^2 + 2)$

$f'(x) = e^{2x}[2(x^3 + 2x + 3) + (3x^2 + 2)]$

$f'(x) = e^{2x}[2x^3 + 4x + 6 + 3x^2 + 2]$

$f'(x) = e^{2x}(2x^3 + 3x^2 + 4x + 8)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = e^{2x}(2x^3 + 3x^2 + 4x + 8)$