与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - y^2}{xy}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - y^2}{xy}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、この微分方程式が同次形であることを確認します。

$y = vx$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ となります。

与えられた微分方程式に代入すると、

$$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x^2 - (vx)^2}{x(vx)} = \frac{2x^2 - v^2x^2}{vx^2} = \frac{2 - v^2}{v}$$

$$x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v^2}{v} - v = \frac{2 - v^2 - v^2}{v} = \frac{2 - 2v^2}{v}$$

したがって、

$$\frac{v}{2 - 2v^2} dv = \frac{1}{x} dx$$

$$\int \frac{v}{2 - 2v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$$

左辺の積分を行うために、置換 $u = 2 - 2v^2$ を用いると、$du = -4vdv$ となり、$vdv = -\frac{1}{4}du$ です。

$$-\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx$$

$$-\frac{1}{4} \ln|u| = \ln|x| + C_1$$

$$-\frac{1}{4} \ln|2 - 2v^2| = \ln|x| + C_1$$

$$\ln|2 - 2v^2| = -4 \ln|x| + C_2$$

$$2 - 2v^2 = e^{-4 \ln|x| + C_2} = e^{C_2} \cdot e^{\ln|x^{-4}|} = C_3 x^{-4}$$

ここで、$v = \frac{y}{x}$ を代入すると、

$$2 - 2(\frac{y}{x})^2 = C_3 x^{-4}$$

$$2 - 2\frac{y^2}{x^2} = \frac{C_3}{x^4}$$

両辺に $x^4$ をかけると、

$$2x^4 - 2x^2y^2 = C_3$$

$$2x^4 - 2x^2y^2 = C$$

$$x^4 - x^2y^2 = C/2$$

$$x^4 - x^2y^2 = K$$

3. 最終的な答え

$x^4 - x^2 y^2 = K$