## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^{x^2}}{x+1}$ の微分を求める問題です。

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2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているため、商の微分公式を使用します。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\qquad \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

と表されます。

この問題では、$u(x) = e^{x^2}$ と $v(x) = x+1$ となります。

まず、$u(x)$ の微分 $u'(x)$ を求めます。$u(x) = e^{x^2}$ なので、合成関数の微分公式を用いると、

$\qquad u'(x) = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

次に、$v(x)$ の微分 $v'(x)$ を求めます。$v(x) = x+1$ なので、

$\qquad v'(x) = (x+1)' = 1$

これらの結果を商の微分公式に代入すると、

$\qquad f'(x) = \left(\frac{e^{x^2}}{x+1}\right)' = \frac{2xe^{x^2}(x+1) - e^{x^2}(1)}{(x+1)^2}$

分子を整理すると、

$\qquad f'(x) = \frac{2x^2 e^{x^2} + 2xe^{x^2} - e^{x^2}}{(x+1)^2} = \frac{e^{x^2}(2x^2 + 2x - 1)}{(x+1)^2}$

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3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{e^{x^2}(2x^2 + 2x - 1)}{(x+1)^2}$