正の実数 $a$ に対して、$f(x) = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ と定義される関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

## (i) (1) の問題

1. 問題の内容

正の実数 $a$ に対して、$f(x) = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ と定義される関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

逆双曲線関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \sinh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ を利用する。

まず、合成関数の微分公式より

$f'(x) = \frac{d}{dx} \sinh^{-1}(\frac{x}{a}) = \frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{a})$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2} + 1}} \cdot \frac{1}{a}$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + a^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$= \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{|a|}} \cdot \frac{1}{a}$

$a$は正の実数なので$|a| = a$

$= \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \frac{1}{a}$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

## (i) (2) の問題

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{21} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 400}} dx$ の値を、最終的に逆双曲線関数を用いずに求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = 20 \sinh t$ と置換する。すると $dx = 20 \cosh t dt$ となる。

$\sqrt{x^2 + 400} = \sqrt{400\sinh^2 t + 400} = \sqrt{400(\sinh^2 t + 1)} = \sqrt{400 \cosh^2 t} = 20 \cosh t$ となる。

積分範囲は、$x=0$ のとき $\sinh t = 0$ より $t=0$。

$x=21$ のとき $\sinh t = \frac{21}{20}$ となる。この時の $t$ を $t_1$ と置く。

したがって、$I = \int_0^{t_1} \frac{1}{20 \cosh t} (20 \cosh t) dt = \int_0^{t_1} 1 dt = [t]_0^{t_1} = t_1$

$\sinh t_1 = \frac{21}{20}$ より、$\cosh t_1 = \sqrt{\sinh^2 t_1 + 1} = \sqrt{(\frac{21}{20})^2 + 1} = \sqrt{\frac{441 + 400}{400}} = \sqrt{\frac{841}{400}} = \frac{29}{20}$

$e^{t_1} = \sinh t_1 + \cosh t_1 = \frac{21}{20} + \frac{29}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

よって $t_1 = \log (\frac{5}{2})$

3. 最終的な答え

$I = \log (\frac{5}{2})$

## (ii) の問題

1. 問題の内容

極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2)}{e^x - 1 - x}$ を求める。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用する。まず分子と分母が $x=0$ で 0 になることを確認する。

分子は $\tan(e^0) - \tan(1) = \tan(1) - \tan(1) = 0$

分母は $e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 = 0$

次に、分子と分母をそれぞれ微分する。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} [\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2)] = \sec^2(e^{2x}) \cdot 2e^{2x} - \sec^2(1 + 2x + x^2) \cdot (2 + 2x)$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} [e^x - 1 - x] = e^x - 1$

再びロピタルの定理を適用するために、$x=0$での分子と分母の値を確認する。

分子の微分は、$x=0$ で $2\sec^2(1) - 2\sec^2(1) = 0$

分母の微分は、$x=0$ で $e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$

再度ロピタルの定理を適用する。

分子の2階微分：

$\frac{d}{dx} [2e^{2x} \sec^2(e^{2x}) - (2+2x)\sec^2(1+2x+x^2)] =$

$4e^{2x}\sec^2(e^{2x}) + 2e^{2x}2\sec(e^{2x})\sec(e^{2x})\tan(e^{2x})2e^{2x} - 2\sec^2(1+2x+x^2) - (2+2x)2\sec(1+2x+x^2)\sec(1+2x+x^2)\tan(1+2x+x^2)(2+2x) =$

$4e^{2x}\sec^2(e^{2x}) + 8e^{4x}\sec^2(e^{2x})\tan(e^{2x}) - 2\sec^2(1+2x+x^2) - 4(1+x)^2\sec^2(1+2x+x^2)\tan(1+2x+x^2)$

分母の2階微分：

$\frac{d}{dx}[e^x - 1] = e^x$

$x\to 0$ における分子の2階微分の値:

$4\sec^2(1) + 8\sec^2(1)\tan(1) - 2\sec^2(1) - 4\sec^2(1)\tan(1) = 2\sec^2(1) + 4\sec^2(1)\tan(1)$

$x\to 0$ における分母の2階微分の値:

$1$

したがって、極限は

$L = 2\sec^2(1) + 4\sec^2(1)\tan(1) = 2\sec^2(1) (1 + 2\tan(1)) = 2\frac{1}{\cos^2(1)} (1+2\frac{\sin(1)}{\cos(1)})$

$= 2\frac{1}{\cos^2(1)}(\frac{\cos(1) + 2\sin(1)}{\cos(1)}) = \frac{2(\cos(1) + 2\sin(1))}{\cos^3(1)}$

3. 最終的な答え

$L = 2\sec^2(1) + 4\sec^2(1)\tan(1)$