数列 $\{a_n\}$ は初項1、公差3の等差数列であり、数列 $\{b_n\}$ は初項5、公差4の等差数列である。数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか。また、数列 $\{a_n\}$ の第 $l$ 項と数列 $\{b_n\}$ の第 $m$ 項が等しいとき、$a_l = b_m$ として、$l$ と $m$ の関係を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項1、公差3の等差数列であり、数列 $\{b_n\}$ は初項5、公差4の等差数列である。数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか。また、数列 $\{a_n\}$ の第 $l$ 項と数列 $\{b_n\}$ の第 $m$ 項が等しいとき、$a_l = b_m$ として、$l$ と $m$ の関係を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求める。

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ は、初項1、公差3の等差数列なので、

$$a_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$$

数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ は、初項5、公差4の等差数列なので、

$$b_n = 5 + (n-1)4 = 4n + 1$$

$a_l = b_m$ となるような $l$ と $m$ の関係を求める。

$a_l = 3l - 2$

$b_m = 4m + 1$

$a_l = b_m$ より、

$$3l - 2 = 4m + 1$$

$$3l = 4m + 3$$

$$l = \frac{4m+3}{3}$$

$l$ は自然数なので、$4m+3$ は3の倍数でなければならない。

$4m+3 = 3k$ （$k$ は自然数）とおくと、

$4m = 3k-3 = 3(k-1)$

$m = \frac{3(k-1)}{4}$

$m$ も自然数なので、$k-1$ は4の倍数でなければならない。

$k-1 = 4n$ （$n$ は0以上の整数）とおくと、

$k = 4n+1$

$m = \frac{3(4n)}{4} = 3n$

$l = \frac{4(3n)+3}{3} = \frac{12n+3}{3} = 4n+1$

よって、$l = 4n+1$、$m = 3n$ （$n$ は0以上の整数）のとき、$a_l = b_m$ となる。

このときの共通の項を $c_n$ とすると、

$c_n = a_{4n+1} = 3(4n+1) - 2 = 12n + 3 - 2 = 12n + 1$

または

$c_n = b_{3n} = 4(3n) + 1 = 12n + 1$

したがって、数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べた数列は、初項 $12(1) + 1 = 13$、公差12の等差数列である。

初項を計算するには、$n=1$を入れるのではなく、$n=0$を入れるべき。

$c_0 = 12(0) + 1 = 1$

$c_1 = 12(1) + 1 = 13$

$c_2 = 12(2) + 1 = 25$

共通の数列は、初項が1、公差が12の数列である。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ に共通に含まれる項を順に並べた数列は、初項1、公差12の等差数列である。

また、$l = 4m/3 + 1$。より厳密には、$l = 4n+1$、$m = 3n$ （$n$ は0以上の整数）。