次の6つの方程式を解きます。 (1) $x^3 + 64 = 0$ (2) $27x^3 = 8$ (3) $16x^4 = 1$ (4) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ (5) $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$ (6) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

1. 問題の内容

次の6つの方程式を解きます。

(1) $x^3 + 64 = 0$

(2) $27x^3 = 8$

(3) $16x^4 = 1$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

(5) $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$

(6) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 64 = 0$

$x^3 = -64$

$x = \sqrt[3]{-64} = -4$

$x^3 + 4^3 = 0$

$(x+4)(x^2-4x+16) = 0$

$x+4 = 0$ より $x = -4$

$x^2 - 4x + 16 = 0$ より、解の公式を用いて

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(16)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{3}$

(2) $27x^3 = 8$

$x^3 = \frac{8}{27}$

$x = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

$27x^3 - 8 = 0$

$(3x)^3 - 2^3 = 0$

$(3x-2)(9x^2 + 6x + 4) = 0$

$3x-2=0$ より $x = \frac{2}{3}$

$9x^2 + 6x + 4 = 0$ より、解の公式を用いて

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(9)(4)}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{-6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

(3) $16x^4 = 1$

$x^4 = \frac{1}{16}$

$x = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2}$（実数解）

$16x^4 - 1 = 0$

$(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = 0$

$4x^2 - 1 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{4}$ なので $x = \pm \frac{1}{2}$

$4x^2 + 1 = 0$ より $x^2 = -\frac{1}{4}$ なので $x = \pm \frac{i}{2}$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

$X = x^2$ と置くと

$X^2 - 10X + 9 = 0$

$(X - 1)(X - 9) = 0$

$X = 1, 9$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$x^2 = 9$ より $x = \pm 3$

(5) $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$

$X = x^2$ と置くと

$X^2 + 4X - 5 = 0$

$(X + 5)(X - 1) = 0$

$X = -5, 1$

$x^2 = -5$ より $x = \pm i\sqrt{5}$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

(6) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

$X = x^2$ と置くと

$X^2 - 4X - 12 = 0$

$(X - 6)(X + 2) = 0$

$X = 6, -2$

$x^2 = 6$ より $x = \pm \sqrt{6}$

$x^2 = -2$ より $x = \pm i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -4, 2 \pm 2i\sqrt{3}$

(2) $x = \frac{2}{3}, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

(3) $x = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{i}{2}$

(4) $x = \pm 1, \pm 3$

(5) $x = \pm 1, \pm i\sqrt{5}$

(6) $x = \pm \sqrt{6}, \pm i\sqrt{2}$