6個の数字1, 1, 1, 2, 2, 3を並べて6桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。 (1) すべての整数の個数を求めよ。 (2) 奇数の個数を求めよ。

1. 問題の内容

6個の数字1, 1, 1, 2, 2, 3を並べて6桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。

(1) すべての整数の個数を求めよ。

(2) 奇数の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) すべての整数の個数

6個の数字を並べる順列の総数は6!だが、同じ数字が複数あるので、その分だけ割る必要がある。具体的には、1が3個、2が2個あるので、

$\frac{6!}{3!2!}$

を計算する。

$\frac{6!}{3!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} = 6 \times 5 \times 2 = 60$

(2) 奇数の個数

奇数になるためには、一の位が奇数である必要がある。この場合、一の位は1か3である必要がある。

(i) 一の位が3の場合：

残りの5つの数字は1, 1, 1, 2, 2。これらの並べ方は、

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(ii) 一の位が1の場合：

残りの5つの数字は1, 1, 2, 2, 3。これらの並べ方は、

$\frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4} = 5 \times 3 \times 2 = 30$

したがって、奇数の総数は$10 + 30 = 40$。

3. 最終的な答え

(1) すべての整数の個数：60

(2) 奇数の個数：40