関数 $f(x)$ が与えられた積分方程式 $f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられた積分方程式 $f(x) = 3x^2 + \int_{0}^{1} f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおく。

$A = \int_{0}^{1} f(t) dt$

すると、与えられた方程式は次のように書き換えられる。

$f(x) = 3x^2 + A + 1$

次に、この $f(x)$ を $A$ の定義式に代入する。

$A = \int_{0}^{1} (3t^2 + A + 1) dt$

積分を計算する。

$A = [t^3 + (A+1)t]_{0}^{1}$

$A = (1^3 + (A+1) \cdot 1) - (0^3 + (A+1) \cdot 0)$

$A = 1 + A + 1$

$A = A + 2$

これは $0 = 2$ となり矛盾しているように見えるが、これは定数関数に対する方程式であり、矛盾ではない。

上記の式から、$A$ の値を計算することができる。

$A = \int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (3t^2 + A + 1) dt$

$A = [t^3 + (A+1)t]_{0}^{1} = 1 + A + 1 - 0 = A + 2$

よって、$A = A+2$となるので、$0=2$となり矛盾している。したがって、$f(x)$は矛盾した定義を与えている。

積分を計算し直す

$A = \int_{0}^{1} (3t^2 + A + 1) dt$

$A = [t^3 + (A+1)t]_0^1$

$A = 1 + A + 1$

$A = A + 2$

$0 = 2$

どこにも矛盾がないので、$A$を求めることはできない．．．

一旦、方針を変えて、

$f(x) = 3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1$

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (3x^2 + \int_0^1 f(t) dt + 1) dx$

$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 3x^2 dx + \int_0^1 (\int_0^1 f(t) dt) dx + \int_0^1 1 dx$

$\int_0^1 f(x) dx = [x^3]_0^1 + (\int_0^1 f(t) dt) \int_0^1 1 dx + [x]_0^1$

$\int_0^1 f(x) dx = 1 + (\int_0^1 f(t) dt) \cdot 1 + 1$

$\int_0^1 f(x) dx = 2 + \int_0^1 f(t) dt$

$A = 2 + A$

$0 = 2$

$f(x)$が存在しない。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は存在しない。