$a+b+c+d=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(a+d)(b+d)(c+d)$ が成り立つことを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

1. 問題の内容

$a+b+c+d=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(a+d)(b+d)(c+d)$ が成り立つことを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式

$a^3+b^3+c^3+d^3 = (a+b)^3 - 3 \boxed{ア} (a+b) + (c+d)^3 - 3 \boxed{イ} (c+d) \cdots ①$

を考えます。

恒等式 $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ を用いると、$a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ および $c^3+d^3 = (c+d)^3 - 3cd(c+d)$ であるので、

$a^3+b^3+c^3+d^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + (c+d)^3 - 3cd(c+d)$

となります。

したがって、

アは $ab$, イは $cd$ となります。

次に、条件 $a+b+c+d=0$ より $a+b = -(c+d)$ を式①に代入します。

$a^3+b^3+c^3+d^3 = -(c+d)^3 - 3ab(-(c+d)) + (c+d)^3 - 3cd(c+d)$

$= -(c+d)^3 + 3ab(c+d) + (c+d)^3 - 3cd(c+d)$

$= 3ab(c+d) - 3cd(c+d)$

$= 3(c+d)(ab - cd)$

したがって、

$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(\boxed{ウ} - \boxed{エ}) \cdots ②$

より、ウは $ab$, エは $cd$ となります。

最後に、$a+b = -(c+d)$ より $a+b+d = -c$ であることを利用して式を整理します。

$ab-cd = ab - c(-a-b-d) = ab + ac + bc + cd$

$= a(b+c) + d(b+c) = (a+d)(b+c)$

$= ab+ac+bd+cd$

$ab-cd=ab + c(a+b+d-d)$

= $ab - cd$

ここで、$a+b+c+d = 0$ より、 $c = -(a+b+d)$ なので、

$ab-cd = ab + (a+b+d)d = ab + ad + bd + d^2$ ではない。

$a+b = -c-d$ より $c+d=-(a+b)$.

$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)(ab-cd)$.

$c=-(a+b+d)$なので

$ab-cd= ab + d(a+b+d)$

=$ab + ad + bd + d^2$

求めたいのは、$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d) \{\boxed{オ} ab + (a+b+d)\boxed{カ} \}$の形

$ab - cd = ab + (a+b+d)d$より、

$a^3+b^3+c^3+d^3 = 3(c+d)\{ab + (a+b+d)d\}$

オには$1$が入り、カには$d$が入る。

3. 最終的な答え

ア: $ab$

イ: $cd$

ウ: $ab$

エ: $cd$

オ: $1$

カ: $d$