関数 $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ について、$0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ について、$0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身の符号が変わる点を探します。$t^2 - x^2 = 0$ となるのは $t = \pm x$ のときです。積分範囲は $-1 \le t \le 1$ であり、$0 \le x \le 1$ であるため、積分範囲を分割する必要があります。

$f(x) = \int_{-1}^{-x} (x^2 - t^2) dt + \int_{-x}^{x} (x^2 - t^2) dt + \int_{x}^{1} (t^2 - x^2) dt$

各積分を計算します。

$\int (x^2 - t^2) dt = x^2t - \frac{1}{3}t^3 + C$

$\int (t^2 - x^2) dt = \frac{1}{3}t^3 - x^2t + C$

$f(x) = [x^2t - \frac{1}{3}t^3]_{-1}^{-x} + [x^2t - \frac{1}{3}t^3]_{-x}^{x} + [\frac{1}{3}t^3 - x^2t]_{x}^{1}$

$f(x) = (x^2(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3) - (x^2(-1) - \frac{1}{3}(-1)^3) + (x^2(x) - \frac{1}{3}(x)^3) - (x^2(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3) + (\frac{1}{3}(1)^3 - x^2(1)) - (\frac{1}{3}(x)^3 - x^2(x))$

$f(x) = (-x^3 + \frac{1}{3}x^3) - (-x^2 + \frac{1}{3}) + (x^3 - \frac{1}{3}x^3) - (-x^3 + \frac{1}{3}x^3) + (\frac{1}{3} - x^2) - (\frac{1}{3}x^3 - x^3)$

$f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}x^3 + x^3 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3} - x^2 - \frac{1}{3}x^3 + x^3$

$f(x) = (-\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1)x^3 + (1 - 1)x^2 + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$

$f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$

$f'(x) = 4x^2 - 4x = 4x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 1$ のとき。

$0 \le x \le 1$ の範囲で、$x=0, 1$ および $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を調べる。

$f(0) = \frac{2}{3}$

$f(1) = \frac{4}{3} - 2 + \frac{2}{3} = 0$

$x=0$ で極大値を取り、$x=1$ で極小値を取る。

$f(0) = \frac{2}{3}$ (最大値)

$f(1) = 0$ (最小値)

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{2}{3}$

最小値: $0$