ある等差数列 $\{a_n\}$ において、 $a_{15}+a_{16}+a_{17} = -2622$ $a_{99}+a_{103} = -1238$ が成立している。 (1) この等差数列の初項と公差を求めよ。 (2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最小となる $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ある等差数列 $\{a_n\}$ において、

$a_{15}+a_{16}+a_{17} = -2622$

$a_{99}+a_{103} = -1238$

が成立している。

(1) この等差数列の初項と公差を求めよ。

(2) この等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ が最小となる $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公差を $d$ とすると、$a_n = a+(n-1)d$ と表せる。

与えられた条件より、

$a_{15}+a_{16}+a_{17} = (a+14d)+(a+15d)+(a+16d) = 3a+45d = -2622$

$a_{99}+a_{103} = (a+98d)+(a+102d) = 2a+200d = -1238$

2つの式を整理すると、

$3a+45d = -2622$ (1)

$2a+200d = -1238$ (2)

(1) $\times 2$ - (2) $\times 3$ を計算すると、

$(6a+90d) - (6a+600d) = -5244 - (-3714)$

$-510d = -1530$

$d=3$

$d=3$ を (1) に代入すると、

$3a+45(3) = -2622$

$3a+135 = -2622$

$3a = -2757$

$a = -919$

したがって、初項は $-919$、公差は $3$ である。

(2) $S_n$ が最小となる $n$ を求める。

$S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$ であり、$a=-919$、 $d=3$ を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2}(2(-919)+(n-1)3) = \frac{n}{2}(-1838+3n-3) = \frac{n}{2}(3n-1841)$

$S_n$ が最小となるのは、$a_n$ が初めて正の値をとる手前まで和をとるときである。

$a_n = a+(n-1)d = -919+(n-1)3 = 3n-922$

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$3n-922 > 0$

$3n > 922$

$n > \frac{922}{3} \approx 307.33$

したがって、初めて正になるのは $n=308$ のときである。

$a_{307} = 3(307)-922 = 921-922 = -1$

$a_{308} = 3(308)-922 = 924-922 = 2$

$S_n$ が最小となるのは $n=307$ である。

3. 最終的な答え

(1) 初項: $-919$, 公差: $3$

(2) $n=307$