与えられた二つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int (3x^2 + 8x - 1) dx$ (2) $\int (2x - 3)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int (3x^2 + 8x - 1) dx$

(2) $\int (2x - 3)^2 dx$

2. 解き方の手順

(1)

積分を計算します。

$\int (3x^2 + 8x - 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 8x dx - \int 1 dx$

$= 3\int x^2 dx + 8\int x dx - \int dx$

$= 3(\frac{x^3}{3}) + 8(\frac{x^2}{2}) - x + C$

$= x^3 + 4x^2 - x + C$

(2)

まず、積分の中身を展開します。

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

積分を計算します。

$\int (4x^2 - 12x + 9) dx = \int 4x^2 dx - \int 12x dx + \int 9 dx$

$= 4 \int x^2 dx - 12 \int x dx + 9 \int dx$

$= 4 (\frac{x^3}{3}) - 12 (\frac{x^2}{2}) + 9x + C$

$= \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (3x^2 + 8x - 1) dx = x^3 + 4x^2 - x + C$

(a) は1

(ア) は4

(b) は-1

(2) $\int (2x - 3)^2 dx = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

(ア) は4

(イ) は3

(c) は$\frac{4}{3}$

(ウ) は-6

(d) は-6

(エ) は9