点 A を通り、ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線の媒介変数表示を媒介変数 $t$ を用いて求め、さらに $t$ を消去した式で表す問題です。具体的には以下の2つの問題があります。 (1) 点 A(2, 3), ベクトル $\vec{d}=(4, 1)$ (2) 点 A(-1, 2), ベクトル $\vec{d}=(2, -3)$

1. 問題の内容

点 A を通り、ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線の媒介変数表示を媒介変数 $t$ を用いて求め、さらに $t$ を消去した式で表す問題です。具体的には以下の2つの問題があります。

(1) 点 A(2, 3), ベクトル $\vec{d}=(4, 1)$

(2) 点 A(-1, 2), ベクトル $\vec{d}=(2, -3)$

2. 解き方の手順

(1)

* 媒介変数表示：点 A を通り、ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線の媒介変数表示は、位置ベクトル $\vec{p}$ を用いて、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

と表されます。ここで $\vec{a}$ は点 A の位置ベクトルです。成分で書くと、

$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 3 + t \end{cases}$

* $t$ の消去：$y = 3 + t$ より $t = y - 3$。これを $x = 2 + 4t$ に代入すると、

$x = 2 + 4(y - 3) = 2 + 4y - 12 = 4y - 10$

よって、$x = 4y - 10$。これを $y$ について解くと、

$4y = x + 10$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2}$

(2)

* 媒介変数表示：点 A を通り、ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線の媒介変数表示は、

$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 - 3t \end{cases}$

* $t$ の消去：$x = -1 + 2t$ より $2t = x + 1$ だから $t = \frac{x + 1}{2}$。これを $y = 2 - 3t$ に代入すると、

$y = 2 - 3(\frac{x + 1}{2}) = 2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}x$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

媒介変数表示:

$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 3 + t \end{cases}$

$t$ を消去した式:

$y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{2}$

(2)

媒介変数表示:

$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 - 3t \end{cases}$

$t$ を消去した式:

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$