点Aを通りベクトル$\vec{d}$に平行な直線の媒介変数表示を求め、媒介変数$t$を消去した式で表す問題です。 (1) A(2, 3), $\vec{d}$ = (4, 1) (2) A(-1, 2), $\vec{d}$ = (2, -3)

1. 問題の内容

点Aを通りベクトル$\vec{d}$に平行な直線の媒介変数表示を求め、媒介変数$t$を消去した式で表す問題です。

(1) A(2, 3), $\vec{d}$ = (4, 1)

(2) A(-1, 2), $\vec{d}$ = (2, -3)

2. 解き方の手順

(1) A(2, 3), $\vec{d}$ = (4, 1)の場合

* 直線の媒介変数表示は、位置ベクトル$\vec{p}$を用いて、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

と表されます。ここで、$\vec{a}$は点Aの位置ベクトルです。

この問題の場合、$\vec{a} = (2, 3)$、$\vec{d} = (4, 1)$なので、

$\vec{p} = (2, 3) + t(4, 1) = (2 + 4t, 3 + t)$

よって、

$x = 2 + 4t$

$y = 3 + t$

* $t$を消去するために、$y$の式から$t$を求めると、

$t = y - 3$

これを$x$の式に代入すると、

$x = 2 + 4(y - 3) = 2 + 4y - 12 = 4y - 10$

したがって、$x = 4y - 10$

(2) A(-1, 2), $\vec{d}$ = (2, -3)の場合

* 同様に、直線の媒介変数表示は、

$\vec{p} = (-1, 2) + t(2, -3) = (-1 + 2t, 2 - 3t)$

よって、

$x = -1 + 2t$

$y = 2 - 3t$

* $t$を消去するために、$x$の式から$t$を求めると、

$2t = x + 1$

$t = \frac{x + 1}{2}$

これを$y$の式に代入すると、

$y = 2 - 3(\frac{x + 1}{2}) = 2 - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}x$

したがって、$y = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}x$

両辺を2倍すると、$2y = 1 - 3x$

よって、$3x + 2y = 1$

3. 最終的な答え

(1) 媒介変数表示: $x = 2 + 4t$, $y = 3 + t$

$t$を消去した式: $x = 4y - 10$

(2) 媒介変数表示: $x = -1 + 2t$, $y = 2 - 3t$

$t$を消去した式: $3x + 2y = 1$