4つの問題が出題されています。 1. 定積分 $\int_0^\infty e^{-ax^2} dx$ を求める。 2. 密度が $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ （$\rho_0$ は定数）で与えられる半径 $a$ の球の質量 $M$ を求める。 3. 半径 $a$、高さ $h$ の円柱内に電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ （$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸からの距離）で電荷が分布しているときの、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。 4. 半径 $a$、高さ $h$ で質量 $M$ の一様な円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

4つの問題が出題されています。

1. 定積分 $\int_0^\infty e^{-ax^2} dx$ を求める。

2. 密度が $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ （$\rho_0$ は定数）で与えられる半径 $a$ の球の質量 $M$ を求める。

3. 半径 $a$、高さ $h$ の円柱内に電荷密度 $\rho = q_0(a-r)$ （$q_0$ は定数、$r$ は円柱の中心軸からの距離）で電荷が分布しているときの、円柱内の総電荷量 $Q$ を求める。

4. 半径 $a$、高さ $h$ で質量 $M$ の一様な円柱の中心を原点に置き、円柱の軸に垂直な $y$ 軸を回転軸としたときの慣性モーメント $I$ を求める。

2. 解き方の手順

1. **定積分の計算**

$\int_0^\infty e^{-ax^2} dx$ を計算します。これはガウス積分と呼ばれる積分で、既知の結果を利用できます。

まず、$u = \sqrt{a}x$ と置換すると、$x = \frac{u}{\sqrt{a}}$、$dx = \frac{du}{\sqrt{a}}$ となります。

積分範囲は $x: 0 \rightarrow \infty$ に対して $u: 0 \rightarrow \infty$ となります。

よって、

$\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = \int_0^\infty e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^\infty e^{-u^2} du$

$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることを利用すると、

$\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

2. **球の質量の計算**

質量密度 $\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ で与えられる球の質量 $M$ を計算します。

球座標系で積分します。微小体積要素は $dV = r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$ です。

球の質量は、密度を体積で積分することで求まります。

$M = \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho(r) r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi$

$\rho(r) = \frac{\rho_0}{r}$ を代入すると、

$M = \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{\rho_0}{r} r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi = \rho_0 \int_0^a r dr \int_0^\pi \sin \theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$

$\int_0^a r dr = \frac{1}{2}a^2$

$\int_0^\pi \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2$

$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$

したがって、$M = \rho_0 \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot 2 \cdot 2\pi = 2\pi \rho_0 a^2$

3. **円柱内の総電荷量の計算**

円柱座標系で積分します。微小体積要素は $dV = r dr d\theta dz$ です。

電荷密度は $\rho = q_0(a-r)$ です。

円柱の総電荷量 $Q$ は、電荷密度を体積で積分することで求まります。

$Q = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^a \rho r dr d\theta dz = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^a q_0(a-r) r dr d\theta dz = q_0 \int_0^h dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a (ar-r^2) dr$

$\int_0^h dz = h$

$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$

$\int_0^a (ar-r^2) dr = [\frac{1}{2}ar^2 - \frac{1}{3}r^3]_0^a = \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3 = \frac{1}{6}a^3$

したがって、$Q = q_0 \cdot h \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{6}a^3 = \frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$

4. **円柱の慣性モーメントの計算**

円柱の慣性モーメントは、微小質量 $dm$ と回転軸からの距離 $r$ を用いて $I = \int r^2 dm$ で計算できます。

円柱座標系で、$dm = \rho dV = \rho r dr d\theta dz$ です。

ここで、$\rho = \frac{M}{\pi a^2 h}$ です。

回転軸からの距離は $x^2 + z^2$ です。よって

$I = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_0^{2\pi} \int_0^a (z^2+r^2\cos^2\theta)\rho r dr d\theta dz$

$I = \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \int_0^{2\pi} \int_0^a (z^2+r^2\cos^2\theta) \frac{M}{\pi a^2 h} r dr d\theta dz$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a (z^2 r + r^3 \cos^2\theta) dr$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_0^{2\pi} [z^2 \frac{r^2}{2} + \cos^2\theta \frac{r^4}{4}]_0^a d\theta$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2} z^2 a^2 + \frac{1}{4} a^4 \cos^2\theta) d\theta$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} dz [\frac{1}{2}z^2 a^2 (2\pi) + \frac{1}{4} a^4 (\pi)]$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} [\pi z^2 a^2 + \frac{\pi a^4}{4}] \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}dz$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} [\pi a^2 \frac{z^3}{3} + \frac{\pi a^4 z}{4}]^{\frac{h}{2}}_{-\frac{h}{2}}$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} [\pi a^2 (\frac{h^3}{24}+\frac{h^3}{24}) + \frac{\pi a^4}{4}h]$

$I = \frac{M}{\pi a^2 h} [(\frac{\pi a^2 h^3}{12}) + (\frac{\pi a^4 h}{4})]$

$I = M (\frac{h^2}{12} + \frac{a^2}{4})$

$I = \frac{M}{12}(h^2 + 3a^2)$

3. 最終的な答え

1. $\int_0^\infty e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

2. $M = 2\pi \rho_0 a^2$

3. $Q = \frac{\pi}{3} q_0 a^3 h$

4. $I = \frac{M}{12}(h^2 + 3a^2)$