半径 $a$ [m] と $b$ [m] の同軸円筒導体の間に誘電率 $\epsilon$ を持つ誘電体が満たされている。内側の円筒導体に +$\lambda$ [C/m] の電荷が与えられたとき、同軸円筒導体の単位長さ当たりの静電容量 $C$ を求める問題。ただし、円筒導体の長さ $l$ [m] は十分に長いと仮定する。

1. 問題の内容

半径 $a$ [m] と $b$ [m] の同軸円筒導体の間に誘電率 $\epsilon$ を持つ誘電体が満たされている。内側の円筒導体に +$\lambda$ [C/m] の電荷が与えられたとき、同軸円筒導体の単位長さ当たりの静電容量 $C$ を求める問題。ただし、円筒導体の長さ $l$ [m] は十分に長いと仮定する。

2. 解き方の手順

(1) ガウスの法則を用いて、電界 $E$ を求める。半径 $r$ の円筒形ガウス面を考える（$a < r < b$）。ガウスの法則は次のようになる：

$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon}$

ここで、$Q_{enc}$ はガウス面内の電荷であり、$Q_{enc} = \lambda l$ である。円筒座標系では、$d\mathbf{A} = r d\phi dz \hat{\mathbf{r}}$ であり、電界は半径方向にのみ存在するため、$E = E_r(r)$ と書ける。したがって、

$E(r) \oint dA = E(r) 2 \pi r l = \frac{\lambda l}{\epsilon}$

これより、電界は次のようになる：

$E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon r}$

(2) 電位差 $V$ を求める。電位差は、内側の円筒導体（半径 $a$）と外側の円筒導体（半径 $b$）間の電界を積分することで求められる：

$V = -\int_a^b E(r) dr = -\int_a^b \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon r} dr = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} [\ln r]_a^b = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} (\ln b - \ln a) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \ln \frac{a}{b} = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \ln \frac{b}{a}$

絶対値をとり、$V = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \ln \frac{b}{a}$

(3) 静電容量 $C$ を求める。静電容量 $C$ は、電荷 $Q$ と電位差 $V$ の関係から、$C = \frac{Q}{V}$ で定義される。単位長さ当たりの静電容量を求めるので、$C = \frac{\lambda}{V}$ とする。

$C = \frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \ln \frac{b}{a}} = \frac{2 \pi \epsilon}{\ln \frac{b}{a}}$

3. 最終的な答え

単位長さ当たりの静電容量 $C$ は次のようになる：

$C = \frac{2 \pi \epsilon}{\ln \frac{b}{a}}$