$x = 2a^2 + \frac{2}{a}$、 $y = 2a^2 - \frac{2}{a}$のとき、$x^2 - y^2$を$a$を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

$x = 2a^2 + \frac{2}{a}$、 $y = 2a^2 - \frac{2}{a}$のとき、$x^2 - y^2$を$a$を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x$と$y$の値を代入します。

$x + y = (2a^2 + \frac{2}{a}) + (2a^2 - \frac{2}{a}) = 4a^2$

$x - y = (2a^2 + \frac{2}{a}) - (2a^2 - \frac{2}{a}) = \frac{4}{a}$

これらの結果を因数分解した式に代入します。

$x^2 - y^2 = (4a^2)(\frac{4}{a}) = \frac{16a^2}{a} = 16a$

3. 最終的な答え

$16a$