## 問題1

## 問題1

半径 $r$ が未知の円 $O$ があります。半径を $n$ 回観測して、その結果を $X_1, X_2, ..., X_n$ とし、これらは互いに独立で同一の正規分布 $N(r, \sigma^2)$ に従うとします。ただし、$\sigma^2$ は既知であるとします。$X_1, X_2, ..., X_n$ の標本平均を $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ とおきます。

(1) $E(\bar{X})$, $V(\bar{X})$, $E(\bar{X}^2)$ を求めます。

(2) $\pi \bar{X}^2$ は円 $O$ の真の面積 $\pi r^2$ の不偏推定量ではないことを示します (ヒント: $E(\pi \bar{X}^2) \neq \pi r^2$ であることを示す)。

(3) 円 $O$ の真の面積 $\pi r^2$ の不偏推定量 $\hat{S}$ を1つ作ります (ヒント: $E(\hat{S}) = \pi r^2$ となるような $\hat{S}$ を求める)。

## 解き方の手順

(1)

* $E(\bar{X})$: 標本平均の期待値は母平均に等しいので、$E(\bar{X}) = r$。

* $V(\bar{X})$: 標本平均の分散は、母分散をサンプルサイズで割ったものなので、$V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。

* $E(\bar{X}^2)$: $\bar{X}^2$ の期待値は、$V(\bar{X}) = E(\bar{X}^2) - [E(\bar{X})]^2$ より、$E(\bar{X}^2) = V(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + r^2$。

(2)

$E(\pi \bar{X}^2) = \pi E(\bar{X}^2) = \pi \left( \frac{\sigma^2}{n} + r^2 \right) = \pi r^2 + \pi \frac{\sigma^2}{n}$。

$\pi \frac{\sigma^2}{n} \neq 0$ なので、$E(\pi \bar{X}^2) \neq \pi r^2$ となり、$\pi \bar{X}^2$ は $\pi r^2$ の不偏推定量ではありません。

(3)

$\hat{S} = \pi \bar{X}^2 - \pi \frac{\sigma^2}{n}$ を考えます。

$E(\hat{S}) = E(\pi \bar{X}^2 - \pi \frac{\sigma^2}{n}) = \pi E(\bar{X}^2) - \pi \frac{\sigma^2}{n} = \pi \left( \frac{\sigma^2}{n} + r^2 \right) - \pi \frac{\sigma^2}{n} = \pi r^2$。

よって、$\hat{S}$ は $\pi r^2$ の不偏推定量となります。

## 最終的な答え

(1) $E(\bar{X}) = r$, $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$, $E(\bar{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + r^2$

(2) $\pi \bar{X}^2$ は $\pi r^2$ の不偏推定量ではない。

(3) $\hat{S} = \pi \bar{X}^2 - \pi \frac{\sigma^2}{n}$