箱の中に赤玉が7個、青玉が3個入っている。AとBが順番に1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉は戻さず、相手が取り出した玉の色はわからないとする。 (1) Bが赤玉を取り出す確率を求める。 (2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉が7個、青玉が3個入っている。AとBが順番に1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉は戻さず、相手が取り出した玉の色はわからないとする。

(1) Bが赤玉を取り出す確率を求める。

(2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Bが赤玉を取り出す確率を求める。

Aが赤玉を取り出す場合と、Aが青玉を取り出す場合の2通りに分けて考える。

- Aが赤玉を取り出す場合:

Aが赤玉を取り出す確率は $\frac{7}{10}$。このとき、残りの玉は赤玉6個、青玉3個となるので、Bが赤玉を取り出す確率は $\frac{6}{9}$。したがって、この場合の確率は $\frac{7}{10} \times \frac{6}{9}$。

- Aが青玉を取り出す場合:

Aが青玉を取り出す確率は $\frac{3}{10}$。このとき、残りの玉は赤玉7個、青玉2個となるので、Bが赤玉を取り出す確率は $\frac{7}{9}$。したがって、この場合の確率は $\frac{3}{10} \times \frac{7}{9}$。

したがって、Bが赤玉を取り出す確率は、

$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} + \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{42}{90} + \frac{21}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$

(2) Bが赤玉を取り出したとき、Aも赤玉を取り出している条件付き確率を求める。

$P(Aが赤玉|Bが赤玉) = \frac{P(Aが赤玉かつBが赤玉)}{P(Bが赤玉)}$

$P(Aが赤玉かつBが赤玉) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$

$P(Bが赤玉) = \frac{7}{10}$ (上記(1)より)

したがって、

$P(Aが赤玉|Bが赤玉) = \frac{\frac{7}{15}}{\frac{7}{10}} = \frac{7}{15} \times \frac{10}{7} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{10}$

(2) $\frac{2}{3}$