正規母集団 $N(\mu, \sigma^2)$ からの大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ に基づく標本分散を $V$ とする。$U = \frac{(n-1)V}{\sigma^2}$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従うことが知られている。 (1) $\sqrt{V}$ の期待値 $E[\sqrt{V}] = \int_0^\infty \sqrt{v} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} v^{\frac{n-1}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}} dv = \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$ を示す。 ただし、$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx$ とする。 (ヒント: $u/2 = x$ とおく) (2) (1) の結果を用いて、$\sqrt{V}$ は $\sigma$ の不偏推定量ではないことを示し、$\sigma$ の不偏推定量を作る。

1. 問題の内容

正規母集団 $N(\mu, \sigma^2)$ からの大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ に基づく標本分散を $V$ とする。$U = \frac{(n-1)V}{\sigma^2}$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従うことが知られている。

(1) $\sqrt{V}$ の期待値 $E[\sqrt{V}] = \int_0^\infty \sqrt{v} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} v^{\frac{n-1}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}} dv = \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$ を示す。 ただし、$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx$ とする。 (ヒント: $u/2 = x$ とおく)

(2) (1) の結果を用いて、$\sqrt{V}$ は $\sigma$ の不偏推定量ではないことを示し、$\sigma$ の不偏推定量を作る。

2. 解き方の手順

(1) $E[\sqrt{V}]$ の積分を計算する。

与えられた積分式:

$E[\sqrt{V}] = \int_0^\infty \sqrt{v} \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} v^{\frac{n-1}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}} dv$

$E[\sqrt{V}] = \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} \int_0^\infty v^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}} dv$

ここで、$x = \frac{v}{2}$ とおく。$v = 2x$ であり、$dv = 2dx$ となる。

$E[\sqrt{V}] = \frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} \int_0^\infty (2x)^{\frac{n}{2} - 1} e^{-x} 2dx$

$E[\sqrt{V}] = \frac{2^{\frac{n}{2} - 1} \cdot 2}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} \int_0^\infty x^{\frac{n}{2} - 1} e^{-x} dx$

$E[\sqrt{V}] = \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n-1}{2})} \Gamma(\frac{n}{2})$

$E[\sqrt{V}] = \frac{2^{\frac{n}{2} - \frac{n-1}{2}} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$

$E[\sqrt{V}] = \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$

(2) $\sqrt{V}$ は $\sigma$ の不偏推定量ではないことを示す。$V = \frac{U\sigma^2}{n-1}$より$\sqrt{V} = \frac{\sqrt{U}\sigma}{\sqrt{n-1}}$. ここで、$E[U] = n-1$。 $E[\sqrt{V}] = E[\sqrt{\frac{U\sigma^2}{n-1}}] = \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}} E[\sqrt{U}]$. $U$は自由度$n-1$のカイ二乗分布に従うので、$E[\sqrt{U}] = \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$となる。

したがって、$E[\sqrt{V}] = \frac{\sigma}{\sqrt{n-1}} \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} = \sigma \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}} \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$.

$E[\sqrt{V}] \neq \sigma$ なので、$\sqrt{V}$ は $\sigma$ の不偏推定量ではない。

$c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n-1}} \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$ とおくと、$E[\sqrt{V}] = c \sigma$. よって、$\sigma$の不偏推定量は $\frac{\sqrt{V}}{c} = \frac{\sqrt{n-1} \Gamma(\frac{n-1}{2})}{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \sqrt{V}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $E[\sqrt{V}] = \frac{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}$

(2) $\sqrt{V}$ は $\sigma$ の不偏推定量ではない。$\sigma$ の不偏推定量は $\frac{\sqrt{n-1} \Gamma(\frac{n-1}{2})}{\sqrt{2} \Gamma(\frac{n}{2})} \sqrt{V}$.