空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求める。 (2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。 (3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルを求める。

## 問題1

1. 問題の内容

空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求める。

(2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

(3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積の絶対値で与えられる。

まず、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (-1)(-1) \\ (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(-1) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ -1 - 1 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

次に、外積の絶対値を計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(0)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) 平行六面体の体積は、$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ のスカラー三重積の絶対値で与えられる。スカラー三重積は、$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ で計算できる。

まず、$\vec{b} \times \vec{c}$ を計算する。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(-1) - (1)(1) \\ (1)(1) - (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ -1 - 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ を計算する。

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1)(-2) + (1)(-2) + (-1)(0) = -2 - 2 + 0 = -4$

最後に、スカラー三重積の絶対値を計算する。

$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |-4| = 4$

(3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直なベクトルは、$\vec{b} \times \vec{c}$ で与えられる。すでに計算済みで、$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

単位ベクトルを求めるには、このベクトルをその絶対値で割る。

$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

単位ベクトルは、$\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

もう一つの単位ベクトルは、符号を反転させたもの、$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形の面積: $2\sqrt{2}$

(2) 平行六面体の体積: 4

(3) 単位ベクトル: $\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$