問題はいくつかありますが、ここでは問題15 (1)と(2)を扱います。 (1) 数列 $1, x, x+2$ がこの順で等比数列であるとき、$x$ の値を求める。 (2) 次の等比数列の初項から第5項までの和 $S_5$ を求める: $4, -2, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$.

1. 問題の内容

問題はいくつかありますが、ここでは問題15 (1)と(2)を扱います。

(1) 数列 $1, x, x+2$ がこの順で等比数列であるとき、$x$ の値を求める。

(2) 次の等比数列の初項から第5項までの和 $S_5$ を求める: $4, -2, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$.

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の性質より、隣り合う項の比が等しい。したがって、

$\frac{x}{1} = \frac{x+2}{x}$

$x^2 = x+2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = -1$.

(2) 等比数列の和の公式を用いる。初項を $a$, 公比を $r$, 項数を $n$ とすると、和 $S_n$ は

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

今回の数列では、$a = 4$, $r = -\frac{1}{2}$, $n = 5$ なので、

$S_5 = \frac{4(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{4(1+\frac{1}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{4(\frac{33}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{33}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{33}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1$

(2) $S_5 = \frac{11}{4}$