四面体ABCDにおいて、$|AB| = |BC| = |CA| = 6$, $|AD| = |BD| = 4$, $|CD| = 5$ が与えられている。 (1) 四面体ABCDの体積を求める。 (2) 四面体ABCDの外接球および内接球の半径を求める。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$|AB| = |BC| = |CA| = 6$, $|AD| = |BD| = 4$, $|CD| = 5$ が与えられている。

(1) 四面体ABCDの体積を求める。

(2) 四面体ABCDの外接球および内接球の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 四面体の体積を求める。

まず、三角形ABCは正三角形である。AB = BC = CA = 6であるため、三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$

次に、点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。

$AD = BD = 4$より、点Hは線分ABの中点になる。

点Hは三角形ABCの外心でもある。

三角形ABCの外接円の半径は$R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \times 6 \times 6}{4 \times 9\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

DHの長さを求める。$AD^2 = AH^2 + DH^2$より、$4^2 = (2\sqrt{3})^2 + DH^2$なので、$16 = 12 + DH^2$となり、$DH^2 = 4$。

したがって、$DH = 2$。

四面体ABCDの体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times S \times DH = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2 = 6\sqrt{3}$

(2) 四面体の外接球および内接球の半径を求める。

四面体ABCDの外接球の半径をRとする。

$R = \frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2-e^2-f^2)^2 - 4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+d^2e^2+d^2f^2+e^2f^2)+(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4+f^4)}}{12V}$

ただし、$a=AB=6$, $b=AC=6$, $c=BC=6$, $d=AD=4$, $e=BD=4$, $f=CD=5$。

計算が複雑になるため、別の方法を検討する。

四面体ABCDは、AB=BC=CA=6, AD=BD=4, CD=5であるため、A,B,CはDを中心とする球面上にある。

三角形ABCは正三角形なので、外接球の中心OはDH上にある。

AO = Rとすると、$AH^2 + HO^2 = R^2$となり、HO = $|DH - DO| = |2-R|$であるから、

$(2\sqrt{3})^2 + (R-2)^2 = R^2$

$12 + R^2 - 4R + 4 = R^2$

$16 - 4R = 0$

$4R = 16$

$R=4$

したがって、外接球の半径は4である。

内接球の半径をrとする。

四面体の表面積Tを求める。

三角形ABCの面積は$9\sqrt{3}$。

三角形ACDの面積を求める。AC=6, AD=4, CD=5なので、ヘロンの公式より、$s=\frac{6+4+5}{2}=7.5$, $S=\sqrt{7.5 \times (7.5-6) \times (7.5-4) \times (7.5-5)} = \sqrt{7.5 \times 1.5 \times 3.5 \times 2.5} = \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2}} = \frac{15}{4}\sqrt{7}$

三角形BCDの面積も同じで、$\frac{15}{4}\sqrt{7}$。

三角形ABDの面積も同じで、$\frac{15}{4}\sqrt{7}$。

四面体の表面積は、$9\sqrt{3} + 3 \times \frac{15}{4}\sqrt{7} = 9\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt{7}$

体積V = $\frac{1}{3} \times T \times r$より、$6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times (9\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt{7}) \times r$

$18\sqrt{3} = (9\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt{7}) \times r$

$r = \frac{18\sqrt{3}}{9\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \frac{5}{4}\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 5\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{3}(4\sqrt{3}-5\sqrt{7})}{(4\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{7})^2} = \frac{8\sqrt{3}(4\sqrt{3}-5\sqrt{7})}{48-175} = \frac{8\sqrt{3}(4\sqrt{3}-5\sqrt{7})}{-127} = \frac{32\sqrt{3}}{-127}(4\sqrt{3}-5\sqrt{7}) = \frac{8(5\sqrt{21}-12)}{127}$

3. 最終的な答え

(1) 四面体の体積: $6\sqrt{3}$

(2) 四面体の外接球の半径: 4, 四面体の内接球の半径: $\frac{8(5\sqrt{21}-12)}{127}$