(1) $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\theta=30^\circ$ (2) $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, $\theta=120^\circ$ (3) $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, $\theta=90^\circ$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

1. ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ が与えられたとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(1) $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\theta=30^\circ$

(2) $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, $\theta=120^\circ$

(3) $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$, $\theta=90^\circ$

2. 次の2つのベクトルのなす角 $\theta$ を求める。

(4) $(3, 5)$, $(4, 1)$

(5) $(3, 0)$, $(-\sqrt{3}, 1)$

(6) $(3, -1)$, $(2, 6)$

3. ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $|\vec{a}+\vec{b}|=4$ を満たすとき、次の値を求める。

(7) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(8) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b})$

(9) $|\vec{a}-\vec{b}|$

4. 次の条件を満たすベクトル $\vec{p}$ を求める。

(10) $(2, -1)$ に垂直な単位ベクトル

(11) $(-3, 2)$ に垂直で、大きさが 2

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2. 解き方の手順

1. 内積の公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を利用する。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 120^\circ = \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ = 2 \cdot 0 = 0$

2. ベクトルのなす角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を利用して求める。

(4) $\vec{a} = (3, 5)$, $\vec{b} = (4, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 12 + 5 = 17$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$\cos \theta = \frac{17}{\sqrt{34} \sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{2 \cdot 17} \sqrt{17}} = \frac{17}{17 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = 45^\circ$

(5) $\vec{a} = (3, 0)$, $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -3\sqrt{3}$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \theta = \frac{-3\sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\theta = 150^\circ$

(6) $\vec{a} = (3, -1)$, $\vec{b} = (2, 6)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 = 6 - 6 = 0$

$\cos \theta = \frac{0}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = 0$

$\theta = 90^\circ$

3. $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ を利用して $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(7) $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 4^2 = 16$

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3^2 = 4 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 9 = 13 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$16 = 13 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

(8) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 2^2 - \frac{3}{2} - 2 \cdot 3^2 = 4 - \frac{3}{2} - 18 = -14 - \frac{3}{2} = -\frac{31}{2}$

(9) $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} + 3^2 = 4 - 3 + 9 = 10$

$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{10}$

4. あるベクトルに垂直なベクトルは、成分を入れ替えて片方にマイナスをつけたものになることを利用する。

(10) $(2, -1)$ に垂直なベクトルは $(1, 2)$ または $(-1, -2)$.

単位ベクトルなので大きさが1になるように調整する。

$|(1, 2)| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

$|(-1, -2)| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$

$\vec{p} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ または $\vec{p} = (-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}})$

(11) $(-3, 2)$ に垂直なベクトルは $(2, 3)$ または $(-2, -3)$.

$|(2, 3)| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

$|(-2, -3)| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$

大きさが 2 なので、$\vec{p} = 2 \cdot (\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}) = (\frac{4}{\sqrt{13}}, \frac{6}{\sqrt{13}})$ または $\vec{p} = 2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{13}}, -\frac{3}{\sqrt{13}}) = (-\frac{4}{\sqrt{13}}, -\frac{6}{\sqrt{13}})$

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3. 最終的な答え

1. (1) $3\sqrt{3}$

(2) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $0$

2. (4) $45^\circ$

(5) $150^\circ$

(6) $90^\circ$

3. (7) $\frac{3}{2}$

(8) $-\frac{31}{2}$

(9) $\sqrt{10}$

4. (10) $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$ または $(-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}})$

(11) $(\frac{4}{\sqrt{13}}, \frac{6}{\sqrt{13}})$ または $(-\frac{4}{\sqrt{13}}, -\frac{6}{\sqrt{13}})$