ベクトル $\vec{a} = (-3, 2)$ に垂直で、大きさが2のベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-3, 2)$ に垂直で、大きさが2のベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ に垂直なベクトルを考えます。ベクトル $\vec{a} = (a, b)$ に垂直なベクトルは、$(k)(-b, a)$ (kは任意の実数)で表されます。よって、$\vec{a} = (-3, 2)$ に垂直なベクトルは、$(k)(-2, -3)$、すなわち $(-2k, -3k)$ と表せます。

次に、このベクトルの大きさが2になるように $k$ の値を決定します。ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で計算できます。つまり、ベクトル $(-2k, -3k)$ の大きさは $\sqrt{(-2k)^2 + (-3k)^2}$ です。

$\sqrt{(-2k)^2 + (-3k)^2} = 2$ を解きます。

$\sqrt{4k^2 + 9k^2} = 2$

$\sqrt{13k^2} = 2$

$\sqrt{13}|k| = 2$

$|k| = \frac{2}{\sqrt{13}}$

したがって、$k = \pm \frac{2}{\sqrt{13}}$ となります。

$k = \frac{2}{\sqrt{13}}$ のとき、ベクトルは $(-2 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}, -3 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}) = (-\frac{4}{\sqrt{13}}, -\frac{6}{\sqrt{13}})$

$k = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ のとき、ベクトルは $(-2 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{13}}), -3 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{13}})) = (\frac{4}{\sqrt{13}}, \frac{6}{\sqrt{13}})$

分母にルートがあるのが気になる場合は有理化します。

$\pm (\frac{4\sqrt{13}}{13}, \frac{6\sqrt{13}}{13})$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは $\left(-\frac{4\sqrt{13}}{13}, -\frac{6\sqrt{13}}{13}\right)$ と $\left(\frac{4\sqrt{13}}{13}, \frac{6\sqrt{13}}{13}\right)$ です。